АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СРЕДЕ НА БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ОЦЕНКАМ УСРЕДНЕНИЯ

В рассматривается задача Коши для линейного параболического уравнения второго порядка: . Матрица коэффициентов a(x) измерима, симметрична и 1-периодична по каждой переменной . Задача моделирует диффузию в неоднородной среде, имеющей периодическую структуру. Решение u(x, t) можно интерпретировать, например, как плотность распределения некоторой случайной величины в момент времени t и тогда подразумевается, что начальное распределение f(x) - неотрицательная функция, интеграл от которой по равен 1. Известно, что при большом значении времени t решение u(x,t) близко к решению задачи Коши: с постоянной матрицей диффузии . Иными словами, при больших t диффузия в периодической среде описывается эффективно через диффузию в однородной среде, которой соответствует постоянная матрица диффузии , называемая матрицей эффективной диффузии. Недавно была доказана оценка погрешности приближения функции u(x,t) решением в норме лебегова -пространства по сечению t=const для любого . Эта оценка порядка при и имеет операторный тип. В настоящей работе найдено приближение для решения исходной задачи с оценкой погрешности того же типа, но порядка при . Это приближение оказывается суммой нулевого приближения и некоторого корректора. Обоснование проведено при дополнительном условии липшицевости матрицы диффузии a(x). Описанный выше результат используется для построения аппроксимации решения уравнения диффузии с быстро осциллирующими ε-периодическими коэффициентами в норме - пространства на сечении t = 1. Погрешность аппроксимации имеет оценку порядка при ε → 0. Результаты работы можно использовать в разных областях, например, при расчете теплового потока в композиционной среде с мелкоячеистой периодической структурой или расчете плотности популяции бактерий в периодической питательной среде.

уравнение диффузии, эффективная диффузия, усредненный оператор, фундаментальное решение, задачи на ячейке, асимптотика на больших временах, оценка усреднения в лебеговых нормах

1. Жиков В.В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболического уравнения второго порядка с младшими членами // Труды Московского математического общества. 1983. Т. 46. С. 69-98.

2. Жиков В.В. Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 44-50.

3. Суслина Т.А. Об усреднении периодических параболических систем // Функциональный анализ и его приложения. 2004. Т. 38. Вып. 4. С. 86-90.

4. Zhikov V.V., Pastukhova S.E. Estimates of homogenization of parabolic equation with periodic coefficients // Russian Journal of Math. Physics. 2006. V. 13. Iss. 2. Р. 224-237.

5. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об операторных оценках в теории усреднения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71. Вып. 3. С. 27-122.

6. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит. 1993. 464 с.

7. Коротков В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983. 224 с.

8. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. Amsterdam: North-Holland, 1978. 699 p. 9. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

9. Pastukhova S.E. Approximations of the exponential of an operator with periodic coefficients // Journal of Mathematical Sciences. 2012. V. 181. № 5. P. 668-700.