Использование сплайнов сложной структуры в проектировании дорожных трасс

Цели. Цель работы состоит в развитии теории сплайн-аппроксимации последовательности точек на плоскости на случай использования составных сплайнов сложной структуры. В отличие от простого, например, полиномиального сплайна, составной сплайн содержит повторяющиеся связки нескольких элементов. Такая задача возникает в проектировании трасс железных и автомобильных дорог. План (проекция на горизонтальную плоскость) такой трассы – это кривая, состоящая из повторяющейся связки элементов «прямая ++ клотоида + окружность + клотоида …», что обеспечивает непрерывность не только кривой и касательной, но и кривизны. Число элементов сплайна неизвестно и должно определяться в процессе решения проектной задачи. Алгоритм решения задачи применительно к сплайну, состоящему из дуг окружностей, сопрягаемых прямыми, реализован и опубликован ранее. Аппроксимирующий сплайн в общем случае – многозначная функция. На координаты точек ее графика могут накладываться ограничения. Еще одним существенным фактором, усложняющим задачу, является наличие клотоид, которые не выражаются аналитически (формулой). Алгоритм определения числа элементов сплайна с клотоидами и построения начального приближения опубликован ранее. В настоящей статье рассматривается следующий этап решения задачи – оптимизация с применением нелинейного программирования сплайна, полученного на первом этапе по методу динамического программирования.

Методы. Для оптимизации параметров сплайна используется новая математическая модель в виде модифицированной функции Лагранжа и специальный алгоритм нелинейного программирования. При этом удается вычислять аналитически производные целевой функции по параметрам сплайна при отсутствии ее аналитического выражения через эти параметры.

Результаты. Разработаны математическая модель и алгоритм оптимизации параметров составного сплайна, состоящего из дуг окружностей, сопрягаемых клотоидами и прямыми.

Выводы. Предложенная ранее двухэтапная схема проектирования плана трасс линейных сооружений пригодна и при использовании составных сплайнов с клотоидами.

1. Карпов Д.А., Струченков В.И. Двухэтапная сплайн-аппроксимация в компьютерном проектировании трасс линейных сооружений. Russ. Technol. J. 2021;9(5):45–56. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2021-9-5-45-56

2. Карпов Д.А., Струченков В.И. Сплайн-аппроксимация многозначных функций в проектировании трасс линейных сооружений. Russ. Technol. J. 2022;10(4):65–74. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2022-10-4-65-74

3. Карпов Д.А., Струченков В.И. Оптимизация параметров сплайна при аппроксимации многозначных функций. Russ. Technol. J. 2023;11(2);72–83. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2023-11-2-72-83

4. Li W., Pu H., Schonfeld P., et al. A Method for Automatically Recreating the Horizontal Alignment Geometry of Existing Railways. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2019;34(1):71–94. https://doi.org/10.1111/mice.12392

5. Jha M.K., McCall C., Schonfeld P. Using GIS, genetic algorithms, and visualization in highway development. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2001;16(6):399–414. https://doi.org/10.1111/0885-9507.00242

6. Jha M.K., Schonfeld P. A highway alignment optimization model using geographic information systems. Transp. Res. Part A. Policy Pract. 2004;8(6):455–481. https://doi.org/10.1016/j.tra.2004.04.001

7. Jong J.C., Jha M.K., Schonfeld P. Preliminary highway design with genetic algorithms and geographic information systems. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2000;15(4):261–271. https://doi.org/10.1111/0885-9507.00190

8. Kang M.W., Schonfeld P., Yang N. Prescreening and repairing in a genetic algorithm for highway alignment optimization. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2009;24(2):109–119. https://doi.org/10.1111/j.1467-8667.2008.00574.x

9. Pushak Y., Hare W., Lucet Y. Multiple-path selection for new highway alignments using discrete algorithms. Eur. J. Oper. Res. 2016;248(2):415–427. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2015.07.039

10. Sarma K.C., Adeli H. Bilevel parallel genetic algorithms for optimization of large steel structures. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2001;16(5):295–304. https://doi.org/10.1111/0885-9507.00234

11. Shafahi Y., Bagherian M. A customized particle swarm method to solve highway alignment optimization problem. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2013;28(1):52–67. https://doi.org/10.1111/j.1467-8667.2012.00769.x

12. Bosurgi G., D’Andrea A. A polynomial parametric curve (PPC-curve) for the design of horizontal geometry of highways. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2012;27(4):303–312. https://doi.org/10.1111/j.1467-8667.2011.00750.x

13. Cerf R. The quasispecies regime for the simple genetic algorithm with roulette wheel Selection. Cornell University. Adv. Appl. Probability. 2017;49(3):903–926. https://doi.org/10.1017/apr.2017.26

14. Oudshoorn M., Koppenberg T., Yorke-Smith N. Optimization of annual planned rail maintenance. Comput. Aided Civ. Infrastruct. Eng. 2021;37(6):669–687. https://doi.org/10.1111/mice.12764

15. Струченков В.И. Новый алгоритм поэлементного расчета трасс в САПР линейных сооружений. Информационные технологии. 2015;21(4):271–276.

16. Бородакий Ю.В., Загребаев А.М., Крицына Н.А., Кулябичев Ю.П., Шумилов Ю.Ю. Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации. М.: НИЯУ МИФИ; 2011. 244 с. ISBN 987-5-7262-1451-1

17. Поляков В.М., Агаларов З.С. Методы оптимизации. М.: Дашков и К; 2022. 86 с. ISBN 978-5-3940-5003-9

18. Гасников А.В. Современные численные методы оптимизации. Метод универсального градиентного спуска. М.: МЦНМО; 2021. 272 с. ISBN 978-5-4439-1614-9

19. Струченков В.И. Методы оптимизации трасс в САПР линейных сооружений. М.: СОЛОН-Пресс; 2020. 272 с. ISBN 978-5-9135-9139-5

20. Кохендерфер М. Д., Уилер Т.А. Алгоритмы оптимизации. M.: Вильямс; 2020. 528 с.

21. Audet C., Hare W. Derivative-Free and Blackbox Optimization. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer; 2017. 302 р. https://doi.org/10.1007/978-3-319-68913-5

22. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации. Компьютерные технологии. СПб.: БХВ-Петербург; 2011. 329 с.

23. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер. с англ. М.: Мир; 1985. 509 c.

24. Ларичев О.И., Горвиц Г.Г. Методы поиска локальных экстремумов овражных функций. М.: Наука; 1990. 96 с.