Моделирование поверхностных волн в фотонных кристаллических структурах с профилем показателя преломления, убывающим с расстоянием от поверхности

Цели. Выявление закономерностей распространения поверхностных волн в неоднородных и нелинейных кристаллических структурах на основе математических моделей является важной фундаментальной задачей в физике конденсированного состояния, относящейся к волноводной оптике. При этом особой важностью обладают такие модели волноводных структур, в которых удается найти точное аналитическое решение. Цель работы – теоретическое изучение поверхностных электрических волн поперечной поляризации, распространяющихся вдоль фотонного кристалла с определенной формой профиля показателя преломления.

Методы. Применены методы математической физики, анализа, дифференциальных уравнений и теории специальных функций, а также физические модели волноводной оптики.

Результаты. Для описания пространственно неоднородного распределения оптических свойств фотонного кристалла предложен обобщенный гиперболический профиль диэлектрической проницаемости, который обладает широкими возможностями вариации формы, что позволяет его использовать для широкого круга задач, не ограничиваясь волноводной оптикой. Найдено точное аналитическое решение волнового уравнения для выбранного профиля диэлектрической проницаемости, выражаемое через функцию Уиттекера. Рассмотрены частые случаи обобщенного профиля, для которого указаны точные аналитические решения, выражаемые через функции Уиттекера и Макдональда. Описаны поверхностные поперечные электрические волны, поле в которых локализовано вблизи поверхности фотонного кристалла и убывает при удалении от нее. Полученное решение также описывает волноводные моды, в которых поле убывает при удалении от поверхности фотонного кристалла с осцилляциями. Выявлены новые особенности локализации поверхностных волн, обусловленные изменением параметров обобщенного гиперболического профиля, моделирующего зависимость диэлектрической проницаемости. Установлено, что в линейной поверхностной волне максимум интенсивности расположен в фотонном кристалле.

Выводы. Полученные результаты описания характеристик поверхностных волн расширяют теоретические представления волноводной оптики. Они могут быть полезны для прогнозирования оптических свойств различных фотонных кристаллических структур, а также при проектировании различных волноводных структур с требуемыми дисперсионно-оптическими характеристиками.

1. Agrawal G.P. Physics and Engineering of Graded-Index Media. New York: Cambridge University Press; 2023, 348 р. https://doi.org/10.1017/9781009282086

2. Singh B.K., Bambole V., Tiwari S., Shukla K.K., Pandey P.C., Rastogi V. Photonic band gap consequences in one-dimensional exponential graded index photonic crystals. Optik. 2021;240:166854. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2021.166854

3. Dash D., Saini J., Goyal A.K., Massoud Y. Exponentially index modulated nanophotonic resonator for high-performance sensing applications. Sci. Rep. 2023;13(1):1431. https://doi.org/10.1038/s41598-023-28235-6

4. Singh B.K., Bijalwan A., Pandey P.C., Rastogi V. Photonic bandgaps engineering in double graded hyperbolic, exponential and linear index materials embedded one-dimensional photonic crystals. Eng. Res. Express. 2019;1(2):025004. https://doi.org/10.1088/2631-8695/ab48a0

5. Singh B.K., Bambole V., Rastogi V., Pandey P.C. Multi-channel photonic bandgap engineering in hyperbolic graded index materials embedded one-dimensional photonic crystals. Opt. Laser Technol. 2020;129(17):106293. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2020.106293

6. Dash D., Saini J. Hyperbolic Graded Index Biophotonic Cholesterol Sensor with Improved Sensitivity. Progress In Electromagnetics Research M. 2023;116:165–176. https://doi.org/10.2528/PIERM23032302

7. Chen C-L. Foundations for Guided-Wave Optics. New York: John Wiley & Sons Inc.; 2005, 462 р. https://doi.org/10.1002/0470042222

8. Lachance R.L., Belanger P.-A. Modes in divergent parabolic graded-index optical fibers. Journal of Lightwave Technology (JLwT). 1991;9(11):1425–1430. https://doi.org/10.1109/50.97628

9. Touam T., Yergeau F. Analytical solution for a linearly graded-index-profile planar waveguide. Appl. Opt. 1993;32(3): 309–312. https://doi.org/10.1364/AO.32.000309

10. Шварцбург А.Б. Дисперсия электромагнитных волн в слоистых и нестационарных средах (точно решаемые модели). Успехи физических наук (УФН). 2000;170(12):1297–1324. https://doi.org/10.3367/UFNr.0170.200012b.1297

11. Svendsen B.B., Söderström M., Carlens H., Dalarsson M. Analytical and Numerical Models for TE-Wave Absorption in a Graded-Index GNP-Treated Cell Substrate Inserted in a Waveguide. Appl. Sci. 2022;12(14):7097. https://doi.org/10.3390/app12147097

12. Almawgani A.H.M., Taya S.A., Hussein A.J., Colak I. Dispersion properties of a slab waveguide with a graded-index core layer and a nonlinear cladding using the WKB approximation method. J. Opt. Soc. Am. B. 2022;39(6):1606–1613. https://doi.org/10.1364/JOSAB.458569

13. Савотченко С.Е. Модели волноводов, сочетающих градиентные и нелинейно-оптические слои. Russian Technological Journal. 2023;11(4):84–93. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2023-11-4-84-93

14. Савотченко С.Е. Модели симметричных трехслойных волноводных структур с градиентной сердцевиной и нелинейно-оптическими обкладками. Russian Technological Journal. 2024;12(5):77–89. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2024-12-5-77-89

15. Savotchenko S.E. Nonlinear surface waves propagating along an interface between the Kerr nonlinear and hyperbolic graded-index crystals. J. Opt. 2025;54:2363–2371. https://doi.org/10.1007/s12596-024-01907-w

16. Savotchenko S.E. New surface waves in a hyperbolic graded-index crystal. Rom. Rep. Phys. 2024;76(4):406. https://doi.org/10.59277/RomRepPhys.2024.76.406

17. Savotchenko S.E. Features of the surface wave propagation along the interface between the hyperbolic graded-index layer and nonlinear medium with a step change in the dielectric constant. Phys. Lett. A. 2024;524(11):129822. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2024.129822

18. Kaplan I.G. Intermolecular Interactions: Physical Picture, Computational Methods and Model Potentials. Hoboken: John Wiley & Sons; 2006, 367 p. https://doi.org/10.1002/047086334X

19. Andrews G.E., Askey R., Roy R. Special Functions. UK: Cambridge University Press; 1999, 664 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781107325937

20. Savotchenko S.E. Surface waves in a medium with spatial monotonic attenuation of the refractive index. Rom. Rep. Phys. 2025;77(1):402. https://doi.org/10.59277/RomRepPhys.2025.77.402

21. Юрасов А.Н., Яшин М.М., Гладышев И.В., Семенова Д.В., Ганьшина Е.А., Каназакова Е.С. Влияние размерных эффектов и распределения гранул по размерам на оптические и магнитооптические свойства нанокомпозитов. Russian Technological Journal. 2021;9(3):49–57. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2021-9-3-49-57

22. Zhang X., Shao J., Yan C., Qin R., Lu Z., Geng H., Xu T., Ju L. A review on optoelectronic device applications of 2D transition metal carbides and nitrides. Materials & Design. 2021;200:109452. https://doi.org/10.1016/j.matdes.2021.109452

23. Santiago S. Optoelectronics, Photonics and Sensors. Prague: Czech Technical University of Prague; 2017, 40 p.