Методы и эффективные алгоритмы решения многомерных интегральных уравнений

Цели. Интегральные уравнения давно и широко используются в математической физике для доказательства теорем существования и единственности решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на то что интегральные уравнения имеют ряд преимуществ по сравнению с соответствующими краевыми задачами – все краевые условия присутствуют в ядрах уравнений, они практически не использовались для численного решения задач. Это связано с тем, что при дискретизации интегральных уравнений возникают системы уравнений с плотными матрицами, в отличие от разреженных матриц в случае дифференциальных уравнений. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники и методов вычислительной математики, интегральные уравнения начали использоваться при численном решении конкретных задач. В работе предложены два метода численного решения двухмерных и трехмерных интегральных уравнений, описывающих многие важные классы задач математической физики.
Методы. Для дискретизации интегральных уравнений использовался метод коллокации на неравномерной и равномерной сетках. Для численного решения получившихся систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) используются итерационные методы. Для случая равномерной сетки построен эффективный метод умножения матрицы СЛАУ на вектор.
Результаты. Построены соответствующие СЛАУ, описывающие рассматриваемые классы задач. Для решения систем уравнений, полученных с использованием равномерной сетки, предложены эффективные алгоритмы решения, использующие быстрое дискретное преобразование Фурье.
Выводы. СЛАУ с использованием неравномерной сетки имеют преимущество, связанное с хорошим описанием областей сложной конфигурации, но при этом есть существенные ограничения на размерность СЛАУ. При использовании равномерной сетки размерность СЛАУ может быть на несколько порядков больше, однако в этом случае могут возникать трудности с описанием сложной конфигурации области. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и имеющихся вычислительных ресурсов. Для многих двухмерных задач может быть предпочтительнее СЛАУ на неравномерной сетке, а для трехмерных задач – предпочтительнее СЛАУ на равномерной сетке

1. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Applied Mathematical Sciences. Book series. (AMS, V. 93). 4th ed. Springer; 2019. 535 p. ISBN 978-3030-303-50-1

2. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь; 1998. 160 с. ISBN 5-256-01405-6

3. Самохин А.Б. Объемные сингулярные интегральные уравнения электродинамики. М.: Техносфера; 2021. 218 с. ISBN 978-5-94836-618-0

4. Michlin S., Prössdorf S. Singular Integral Operators. Berlin-New York: Akademie-Verlag; 1986. 528 p.

5. Самохин А.Б., Самохина А.С., Шестопалов Ю.В. Методы дискретизации объемных сингулярных интегральных уравнений электромагнетизма. Дифференциальные уравнения. 2018;54(9):1251–1261. https://doi.org/10.1134/S0374064118090108

6. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь; 1987. 270 c.

7. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ; 1987. 165 c.

8. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа; 1991. 222 c.

9. Самохин А.Б., Тыртышников Е.Е. Численный метод решения объемных интегральных уравнений на неравномерной сетке. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2021;61(5):878–884. https://doi.org/10.31857/S0044466921050161

10. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. СПб.: Лань; 2021. 400 c. ISBN 978-58114-0799-6

11. Кудряшова Н.Ю., Грунина Т.В. Граничные интегральные уравнения. Пенза: Изд-во ПГУ; 2018. 72 с. ISBN 978-5-907-102-47-7

12. Нурутдинова И.Н., Пожарский Д.А. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды. Ростов-на-Дону: Донской ГТУ; 2021. 96 с.

13. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука; 1989. 432 с. ISBN 5-02-102-013996-3

14. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука; 1987. 319 c.

15. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. М.: Академия; 2007. 317 с. ISBN 978-5-7695-3925-1