Численное моделирование течения Куэтта микрополярной жидкости методом проекции

Цели. Целью работы является разработка эффективного численного алгоритма для моделирования двумерного течения микрополярной жидкости в плоском канале с движущейся верхней стенкой (течение Куэтта) и исследование влияния параметров микрополярности на структуру течения.

Методы. Для решения уравнений микрополярной жидкости использован метод проекции с явной схемой интегрирования по времени. Пространственная дискретизация выполнена методом конечных разностей на равномерной сетке 51 × 51. Конвективные члены аппроксимированы противопоточной схемой первого порядка для обеспечения устойчивости при умеренных числах Рейнольдса. Для уравнения микровращения и уравнений сохранения импульса применена раздельная схема решения с последующей коррекцией давления для удовлетворения условия несжимаемости.

Результаты. Получены стационарные поля скорости и микровращения для течения Куэтта при числе Рейнольдса Re = 100 и параметрах микрополярности N = 0.3, m = 0.015. Продемонстрирована устойчивая сходимость численного метода за 5000 итераций с точностью до 3 ∙ 10[−6] для компонент скорости и 1.5 ∙ 10[−6] для микровращения. Визуализированы векторное поле скорости, линии тока, распределение микровращения, завихренности и диссипации. Наблюдается неоднородное поле микровращения с максимальными значениями (~0.45 рад/с) в угловых областях канала.

Выводы. Разработанный алгоритм позволяет эффективно моделировать течение микрополярной жидкости в канале. Численный метод демонстрирует устойчивую сходимость и физическую осмысленность результатов. Установлено, что микрополярность существенно изменяет структуру течения по сравнению с ньютоновским случаем, приводя к формированию поперечной компоненты скорости и нелинейного распределения микровращения. Полученные распределения полевых характеристик могут служить основой для дальнейших исследований реологических свойств микрополярных сред и верификации экспериментальных данных.

1. Eringen A.C. Simple Microfluids. Int. J. Eng. Sci . 1964;2(2):205–217. https://doi.org/10.1016/0020-7225(64)90005-9

2. Lukaszewicz G. Micropolar Fluids: Theory and Applications . Basel: Birkhäuser; 1999, 320 p. https://doi.org/10.1007/9781-4612-0641-5

3. Ariman T., Turk M.A., Sylvester N.D. Microcontinuum Fluid Mechanics A Review. Int. J. Eng. Sci . 1973;11(8):905–930. https://doi.org/10.1016/0020-7225(73)90038-4

4. Cowin S.C. The Theory of Polar Fluids . Adv. Appl. Mech . 1974;14:279–347. https://doi.org/10.1016/S0065-2156(08)70034-6

5. Squires T.M., Quake S.R. Microfluidics: Fluid Physics at the Nanoliter Scale. Rev. Mod. Phys. 2005;77(3):977–1026. https://doi.org/10.1103/REVMODPHYS.77.977

6. Carvalho V., Pinho D., Lima R.A., Teixeira J.C., Teixeira S. Blood Flow Modeling in Coronary Arteries: A Review. Fluids. 2021;6(2):53. https://doi.org/10.3390/fluids6020053

7. Mathur P., Soni S. Transient nonlinear modeling of lemon bore journal bearings with micropolar fluid and eccentricity effects. Multiscale and Multidiscip. Model. Exp. and Des. 2025;8:467. https://doi.org/10.1007/s41939-025-01065-x

8. Tassaddiq A. Impact of Cattaneo-Christov heat flux model on MHD hybrid nano-micropolar fluid flow and heat transfer with viscous and joule dissipation effects. Sci. Rep . 2021;11(1):67. https://doi.org/10.1038/s41598-020-77419-x

9. Карташов Э.М. Развитие модельных представлений термической реакции вязкоупругих тел на температурное поле. Russian Technological Journal . 2024;12(6):80–90. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2024-12-6-80-90

10. Eringen A.C. Theory of Micropolar Fluids. J. Math. Mech . 1966;16(1):1–18. https://doi.org/10.1512/IUMJ.1967.16.16001

11. Ahmadi G. Self-Similar Solution of Incompressible Micropolar Boundary Layer Flow Over a Semi-Infinite Plate. Int. J. Eng. Sci . 1976;14(7):639–646. https://doi.org/10.1016/0020-7225(76)90006-9

12. Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Y. Exact Solutions to the Navier–Stokes equations for unidirectional flows of micropolar fluids in a mass force field. Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures ( DReaM ). 2024;3:41–63. https://doi.org/10.17804/2410-9908.2024.3.041-063

13. Baranovskii E.S., Ershkov S.V., Prosviryakov E.Y., Yudin A.V. Exact Solutions to the Oberbeck–Boussinesq Equations for Describing Three-Dimensional Flows of Micropolar Liquids. Symmetry . 2024;16(12):1669. https://doi.org/10.3390/sym16121669

14. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics . Cambridge: Cambridge University Press; 1967, 615 p.

15. Alwawi F., Sulaiman I.M., Swalmeh M.Z., Yaseen N. Energy transport boosters of magneto micropolar fluid flowing past a cylinder: A case of laminar combined convection. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part C: Journal of Mechanical Engineering Science . 2022;236(22):10902–10913.

16. Ali N., Nazeer M., Javed T., Abbas F. A numerical study of micropolar flow inside a lid-driven triangular enclosure. Meccanica. 2018;53(13):3279–3299. https://doi.org/10.1007/s11012-018-0884-5

17. Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Y. The Inhomogeneous Couette Flow of a Micropolar Fluid. Russ. J. Nonlin. Dyn . 2025;21(3):345–358. https://doi.org/10.20537/nd250601

18. Patankar S.V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow . New York: Hemisphere Publishing Corporation; 1980, 197 p.

19. Maeda M., Soga K. More on convergence of Chorin’s projection method for incompressible Navier–Stokes equations. J. Math. Fluid Mech . 2022;24(2):41. https://doi.org/10.1007/s00021-021-00652-5

20. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations. Mathematics of Computation. 1968;22(104):745–762. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1968-0242392-2

21. Venkatadri K., Maheswari S., Lakshmi C.V., Prasad V.R. Numerical simulation of lid-driven cavity flow of micropolar fluid. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng . 2018;402:012168. https://doi.org/10.1088/1757-899X/402/1/012168

22. Batool S., Rasool G., Alshammari N., Khan I., Kaneez H., Hamadneh N. Numerical analysis of heat and mass transfer in micropolar nanofluids flow through lid driven cavity: Finite volume approach. Case Studies in Thermal Engineering . 2022;37:102233. https://doi.org/10.1016/j.csite.2022.102233

23. Baranovskii E.S., Prosviryakov E.Y., Ershkov S.V. Mathematical analysis of steady non-isothermal flows of a micropolar fluid. Nonlin. Anal.: Real World Appl . 2025;84:104294. https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2024.104294

24. Карташов Э.М. Метод расщепления интегрального преобразования в задачах сложного теплообмена. Russian Technological Journal . 2025;13(6):104–115. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2025-13-6-104-115

25. Gubareva K.V., Prosviryakov E.Yu. MATLAB Implementation of a Projection Method for 2D Micropolar Couette Flow. Mendeley Data . V1. 2026. https://doi.org/10.17632/mpjtfj7krc.1