Особенности аналитического моделирования нелинейных поверхностных волн в градиентных средах

Цели. Важную роль в современной физике и волноводной оптике играют и исследования, связанные с нахождением точных решений используемых при моделировании уравнений, позволяющие выявить классы точно решаемых моделей. Цель работы – изучение свойств поверхностных поперечных волн, распространяющихся вдоль границы раздела нелинейной и градиентной немагнитных сред без потерь.

Методы. В работе использованы методы математического моделирования, методы анализа и математической физики, дифференциальных уравнений и теории специальных функций. Использовались базовые принципы, методы и физические модели нелинейной и волноводной оптики.

Результаты. Проведено моделирование свойств поверхностных поперечных волн, распространяющихся вдоль границы раздела нелинейной и градиентной сред. В качестве модели нелинейности среды, описывающей нелинейно-оптический отклик среды на возмущения электрического поля, выбрана линейная форма зависимости диэлектрической проницаемости от интенсивности света. В качестве модели градиентной среды выбрана форма пространственного профиля диэлектрической проницаемости, описывающая ее изменение в зависимости от расстояния до границы раздела, для которой можно найти точное аналитическое решение стационарного волнового уравнения. Приведена математическая формулировка модели, которая представляет собой краевую задачу сопряжения для нелинейного уравнения с переменными коэффициентами. Найдены точные аналитические решения данной краевой задачи для случаев фокусирующей и дефокусирующей нелинейностей, которые описывают пространственные распределения напряженности электрического поля в поперечном границе раздела сред направлении. Анализ модели позволил выявить существенные различия пространственного распределения интенсивности поля в поверхностных волнах, распространяющихся в фокусирующих и дефокусирующих средах. Проведен детальный анализ влияния значений параметров модели, характеризующих оптические свойства контактирующих сред, на пространственное распределение интенсивности света в поверхностных волнах.

Выводы. Полученные результаты дополняют существующую теорию нелинейной и волноводной оптики и могут найти применение при проектировании новых волноводных структур с определяемыми пользователями свойствами. Полученные новые решения расширяют класс точно решаемых моделей планарных волноводных структур с распределенными неоднородными и нелинейными свойствами.

1. Боголюбов А.Н., Мосунова Н.А., Петров Д.А. Математические модели киральных волноводов. Матем. моделирование. 2007;19(5):3–24. https://www.elibrary.ru/hzwrxp

2. Svendsen B.B., Söderström M., Carlens H., Dalarsson M. Analytical and Numerical Models for TE-Wave Absorption in a GradedIndex GNP-Treated Cell Substrate Inserted in a Waveguide. Appl. Sci. 2022;12(14):7097. https://doi.org/10.3390/app12147097

3. Adams M.J. An Introduction to Optical Waveguides. Chichester: Wiley; 1981, 401 p.

4. Mihalache D. Localized structures in optical media and Bose-Einstein condensates: An overview of recent theoretical and experimental results. Rom. Rep. Phys. 2024;76(2):402. https://doi.org/10.59277/RomRepPhys.2024.76.402

5. Goyal A.K., Husain M., Massoud Y.Y. Analysis of interface mode localization in disordered photonic crystal structure. J. Nanophoton. 2022;16(4):046007. https://doi.org/10.1117/1.JNP.16.046007

6. Kubica J.M. Analysis of planar waveguides with a thin overlayer and nonlinear cladding. Opt. Quant. Electron. 2023;55(12):137. https://doi.org/10.1007/s11082-022-04390-4

7. Шварцбург А.Б. Дисперсия электромагнитных волн в слоистых и нестационарных средах (точно решаемые модели). Успехи физических наук (УФН). 2000;170(12):1297–1324. https://doi.org/10.3367/UFNr.0170.200012b.1297

8. Chen C-L. Foundations for Guided-Wave Optics. New York: John Wiley&Sons Inc.; 2005, 462 р. https://doi.org/10.1002/0470042222

9. Kivshar Yu.S., Agrawal G.P. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals. San Diego: Academic Press; 2003, 540 p.

10. Kudryashov N.A. Stationary solitons of the model with nonlinear chromatic dispersion and arbitrary refractive index. Optik. 2022;259(7):168888. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2022.168888

11. Liang N., Mihalache D., Ma M., Rao J., Liu Y. The multiple bright soliton pairs of the fully PT-symmetric nonlocal Davey-Stewartson I equation. Rom. Rep. Phys. 2024;76(2):106. https://doi.org/10.59277/RomRepPhys.2024.76.106

12. Каданцев В.Н., Гольцов А.Н. Латеральный протонный транспорт, индуцированный распространением акустических солитонов в липидных мембранах. Russian Technological Journal. 2025;13(2):111–120. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2025-13-2-111-120

13. Черняев А.П., Черняева С.А. Вырождение кноидальных волн в неограниченные решения для уравнения Кортевега – Де Фриза. Журнал радиоэлектроники. 2018;6:8. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2018.6.5

14. Agrawal G.P. Physics and Engineering of Graded-Index Media. New York: Cambridge University Press; 2023, 348 р. https://doi.org/10.1017/9781009282086

15. Touam T., Yergeau F. Analytical solution for a linearly graded-index-profile planar waveguide. Appl. Opt. 1993;32(3): 309–312. https://doi.org/10.1364/AO.32.000309

16. Almawgani A.H.M., Taya S.A., Hussein A.J., Colak I. Dispersion properties of a slab waveguide with a graded-index core layer and a nonlinear cladding using the WKB approximation method. J. Opt. Soc. Am. B. 2022;39(6):1606–1613. https://doi.org/10.1364/JOSAB.458569

17. Савотченко С.Е. Модели волноводов, сочетающих градиентные и нелинейно-оптические слои. Russian Technological Journal. 2023;11(4):84–93. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2023-11-4-84-93

18. Савотченко С.Е. Модели симметричных трехслойных волноводных структур с градиентной сердцевиной и нелинейно-оптическими обкладками. Russian Technological Journal. 2024;12(5):77–89. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2024-12-5-77-89

19. Савотченко С.Е. Моделирование поверхностных волн в фотонных кристаллических структурах с профилем показателя преломления, убывающим с расстоянием от поверхности. Russian Technological Journal. 2026;14(1):91–102. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2026-14-1-91-102

20. Savotchenko S.E. New surface waves in a hyperbolic graded-index crystal. Rom. Rep. Phys. 2024;76(4):406. https://doi.org/10.59277/RomRepPhys.2024.76.406

21. Savotchenko S.E. Surface waves in a medium with spatial monotonic attenuation of the refractive index. Rom. Rep. Phys. 2025;77(1):402. https://doi.org/10.59277/RomRepPhys.2025.77.402

22. Singh B.K., Bijalwan A., Pandey P.C., Rastogi V. Photonic bandgaps engineering in double graded hyperbolic, exponential and linear index materials embedded one-dimensional photonic crystals. Eng. Res. Express. 2019;1(2):025004. https://doi.org/10.1088/2631-8695/ab48a0

23. Singh B.K., Bambole V., Rastogi V., Pandey P.C. Multi-channel photonic bandgap engineering in hyperbolic graded index materials embedded one-dimensional photonic crystals. Opt. Laser Technol. 2020;129(17):106293. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2020.106293

24. Andrews G.E., Askey R., Roy R. Special Functions. UK: Cambridge University Press; 1999, 664 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781107325937