Математическое моделирование орбитального движения искусственного спутника Луны с использованием переменных Делоне

Цели. Целью работы является вывод и исследование системы уравнений орбитального движения искусственного спутника Луны (ИСЛ) в гравитационном поле притягивающей планеты в переменных Делоне, обеспечивающей снижение вычислительной сложности при моделировании долгосрочных траекторий, а также анализ стационарных орбит Луны с учетом гравитационного влияния Земли как третьего тела.

Методы. Используются методы аналитической механики, асимптотические методы, в частности, метод усреднения, методы теории устойчивости, численные методы для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты. Получены гамильтониан и уравнения движения ИСЛ в канонических переменных Делоне, на основе которых выведены усредненная и неусредненная системы уравнений движения ИСЛ в виде автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно следующих параметров орбиты: большой полуоси, эксцентриситета, наклонения, долготы восходящего узла, долготы перицентра от восходящего узла, истинных аномалий. Получена замкнутая система дифференциальных уравнений второго порядка относительно эксцентриситета орбиты и долготы перицентра от восходящего узла. Найдены ее стационарные решения, исследована их устойчивость, определены условия для существования стационарных движений в зависимости от значения константы первого интеграла усредненной системы уравнений. Построены интегральные кривые и фазовые портреты, демонстрирующие взаимосвязь параметров орбиты. Проведен сравнительный анализ с данными JPL Horizons и ранее опубликованными работами.

Выводы. Разработанный метод позволяет оптимизировать проектирование траекторий для будущих лунных миссий (например, Artemis, «Луна-Глоб»), обеспечивая баланс между точностью и вычислительной эффективностью. Результаты подтверждают перспективность использования переменных Делоне для анализа долгосрочной орбитальной динамики в гравитационных полях сложной конфигурации.

1. Woodard M., Folta D.C., Woodfork D.W. ARTEMIS The First Mission to the Lunar Libration Orbits. In: Conference: Internation Symposium on Space Flight Dynamics. 2009. URL: https://www.researchgate.net/publication/235990349. Дата обращения 04.02.2025. / Accessed February 04, 2025.

2. Li C., Hu H., Yang M.-F., et al. Characteristics of the lunar samples returned by the Chang’E-5 mission. Natl. Sci. Rev. 2022;9(2):nwab188. https://doi.org/10.1093/nsr/nwab188

3. Li C., Hu H., Yang M.-F., et al. Nature of the lunar far-side samples returned by the Chang’E-6 mission. Natl. Sci. Rev. 2024;11(11):nwae328. https://doi.org/10.1093/nsr/nwae328

4. Mathavaraj S., Negi K. Chandrayaan-3 Trajectory Design: Injection to Successful Landing. J. Spacecraft Rockets. 2025;62(1):159–166. https://doi.org/10.2514/1.A35980

5. Kanu N.J., Gupta E., Verma N.J. An insight into India’s Moon mission – Chandrayan-3: The first nation to land on the southernmost polar region of the Moon. Planet. Space Sci. 2024;242(5):105864. https://doi.org/10.1016/j.pss.2024.105864

6. Зеленый Л.М., Митрофанов И.Г., Третьяков В.И., Литвак М.Л., Калашников Д.В., Суров А.В., Прохоров В.Г. Научная программа исследований космического аппарата «Луна-25». В кн.: Автоматический космический аппарат нового поколения «Луна-25» – от исследования к освоению лунных ресурсов: в 2 т. Химки: Научно-производственное объединение им. С.А. Лавочкина; 2023. С. 8–28. https://elibrary.ru/lggmqz

7. Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. Искусственные спутники Земли. 1961;8:5–45.

8. Kozai Y. Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity. The Astronomical Journal. 1962;67(9):591–598.

9. Вашковьяк М.А., Тесленко Н.М. Уточненная модель эволюции далеких спутниковых орбит. Письма в Астрономический журнал. 2009;35(12):934–950. https://elibrary.ru/kygisd

10. Вашковьяк М.А. Конструктивно-аналитическое решение эволюционной задачи Хилла. Астрономический вестник. 2010;44(6):560–573. https://elibrary.ru/nbsuhf

11. Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников. В кн.: Проблемы движения искусственных небесных тел. М.: Изд-во АН СССР; 1963. С. 119–134.

12. Ely T.A. Stable Constellations of Frozen Elliptical Inclined Lunar Orbits. J. Astronaut. Sci. 2005;53(3):301–316. https://doi.org/10.1007/BF03546355

13. Goossens S., Sabaka T.J., Wieczorek M.A., Neumann G.A., Mazarico E., Lemoine F.G., et al. High-resolution gravity field models from GRAIL data and implications for models of the density structure of the Moon’s crust. Journal of Geophysical Research: Planets (JGR Planets). 2020;125(2):e2019JE006086. https://doi.org/10.1029/2019JE006086

14. Folta D.C., Pavlak T.A., Haapala A.F., Howell K.C., Woodard M.A. Earth–Moon libration point orbit stationkeeping: Theory, modeling, and operations. Acta Astronautica. 2013;94(1):421–433. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2013.01.022

15. Jadala G., Meedinti G.N., Delhibabu R. Satellite Orbit Prediction Using a Machine Learning Approach. ICAI Workshops. 2022. P. 28–46.

16. Ovchinnikov M., Shirobokov M., Trofimov S. Lunar Satellite Constellations in Frozen Low Orbits. Aerospace. 2024;11(11):918. https://doi.org/10.3390/aerospace11110918

17. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука; 1986, 320 с.

18. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука; 1975, 800 с.

19. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы: пер. с англ. М.: Физматлит; 2010, 588 с. ISBN 978-5-9221-1121-8

20. Вильке В.Г. Механика систем материальных точек и твердых тел. М.: Физматлит; 2013, 268 с. ISBN 978-5-9221-1481-3