ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОЦЕДУРЫ ПОСТРОЕНИЯ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

В статье предлагается численный алгоритм построения функций Ляпунова для исследования абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. В случае асимптотической устойчивости выполнение алгоритма приведет к построению множества уровня функции Ляпунова в виде гладкой замкнутой поверхности размерности, равной размерности исходной системы. Для построения гладкого множества уровня функции Ляпунова разработан новый тип поверхности, что позволило свести задачу построения поверхности уровня к серии простых оптимизационных задач. Это гарантирует сходимость алгоритма. В отличие от алгоритма построения кусочно-линейных функций Ляпунова предлагаемый алгоритм обеспечивает возможность проведения анализа систем, находящихся вблизи границы устойчивости, за приемлемое время. Показана связь данного алгоритма и методов, основанных на частотных критериях и квадратичных функциях Ляпунова. Продемонстрировано значительное улучшение точности оценок границы устойчивости по сравнению с классическими методами. Выданы рекомендации по выбору начальных условий, обеспечивающие достижения баланса между точностью и скоростью работы алгоритма.

дифференциальные включения, нелинейные нестационарные системы, абсолютная устойчивость, функции Ляпунова, области устойчивости, Безье-сплайны, полиномы Бернштейна

1. Бердников В.П. Алгоритм определения полных областей устойчивости нестационарных нелинейных систем // Российский технологический журнал. 2017. Т. 5. № 6. С. 55-72.

2. Бердников В.П. Модифицированный алгоритм определения полных областей устойчивости нестационарных нелинейных систем // Российский технологический журнал. 2018. Т. 6. № 3. С. 39-53.

3. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления I // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-73.

4. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.

5. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления III // Автоматика и телемеханика. 1986. № 5. С. 38-49.

6. Farin G. Triangular Bernstein-Bezier patches // Computer Aided Geometric Design. 1986. V. 3. № 2. P. 83-127.

7. Prautzsch H., Boehm W., Paluszny M. Bezier and B-Spline Techniques. Berlin: Springer-Verlag, 2002. 304 p.

8. Farin G. Curves and surfaces for CAGD: A practical guide (5th Edition). San Francisco: Morgan Kaufmann, 2001. 520 p.

9. Sun W., Yuan Y. Optimization theory and methods: Nonlinear programming. New York: Springer, 2010. 687 p.

10. Bonnans J., Gilbert J.C., Lemarechal C., Sagastizabal C.A. Numerical Optimization: Theoretical and Practical Aspects. Berlin: Springer, 2006. 490 p.

11. Moreira L.S. Geometric analogy and products of vectors in n dimensions // Advances in Linear Algebra & Matrix Theory. 2013. V. 3. № 1. P. 1-6.

12. Petersen K.B., Pedersen M.S. The matrix cookbook. Technical University of Denmark, 2012. 72 p.

13. Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. 1995. V. 22. Iss. 4. P. 469-483.

14. Roos C., Terlaky T., Vial J.-P. Interior point methods for linear optimization. Springer, 2006. 501 p.

15. Lipkovich M., Fradkov A. Equivalence of MIMO circle criterion to existence of quadratic Lyapunov function // IEEE Transactions on Automatic Control. 2016. V. 61. Iss. 7. P. 1895-1899.