В статье предлагается численный алгоритм построения функций Ляпунова для исследования абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. В случае асимптотической устойчивости выполнение алгоритма приведет к построению множества уровня функции Ляпунова в виде гладкой замкнутой поверхности размерности, равной размерности исходной системы. Для построения гладкого множества уровня функции Ляпунова разработан новый тип поверхности, что позволило свести задачу построения поверхности уровня к серии простых оптимизационных задач. Это гарантирует сходимость алгоритма. В отличие от алгоритма построения кусочно-линейных функций Ляпунова предлагаемый алгоритм обеспечивает возможность проведения анализа систем, находящихся вблизи границы устойчивости, за приемлемое время. Показана связь данного алгоритма и методов, основанных на частотных критериях и квадратичных функциях Ляпунова. Продемонстрировано значительное улучшение точности оценок границы устойчивости по сравнению с классическими методами. Выданы рекомендации по выбору начальных условий, обеспечивающие достижения баланса между точностью и скоростью работы алгоритма.
The paper proposes a numerical algorithm for constructing Lyapunov functions for investigating the absolute stability of nonlinear nonstationary systems. In the case of asymptotic stability of the system, the implementation of the algorithm will lead to the construction of the Lyapunov function level set in the form of a smooth closed surface of dimension equal to the dimension of the original system. To construct a smooth level set of the Lyapunov function, a new type of surface has been developed. Thus, the task of constructing the level set was reduced to a series of simple optimization problems, which guarantees the convergence of the algorithm. Unlike the algorithm for constructing piecewise linear Lyapunov functions, this algorithm analyses systems located near the stability boundary in an acceptable time. The relationship of this algorithm and methods based on frequency criteria and quadratic Lyapunov functions is shown. A significant improvement in the accuracy of estimates of the stability boundary was demonstrated in comparison with the classical methods. To achieve a balance between the accuracy and speed of the algorithm, recommendations on the choice of initial conditions are given.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.