Отражение линейно поляризованных электромагнитных волн от многослойного периодического зеркала

Цели. Цель работы – теоретическое и экспериментальное исследование углового спектра отражения линейно поляризованных электромагнитных волн от многослойного периодического зеркала на прозрачной подложке, вывод точных аналитических выражений для коэффициентов отражения и прохождения, обобщающих случаи падения плоских ТЕ-(transverse electric) и ТМ-мод (transverse magnetic) на ограниченные периодические структуры со ступенчатым профилем показателя преломления.

Методы. Теоретический анализ задачи отражения основан на поиске точных аналитических решений в виде волн Флоке – Блоха, представленных в форме неоднородных волн, в области периодически структурированных сред. На основе того факта, что в ограниченном одномерном фотонном кристалле возможно существование одиночной волны Флоке – Блоха, предлагается искать точные решения волнового уравнения в виде линейной комбинации волн Флоке – Блоха, бегущих в разные стороны. Канонические формы рассматриваемых периодических структур позволяют достаточно просто осуществлять переход от случая ТЕ-поляризации к ТМ-типу в дисперсионных соотношениях и выражениях для углового спектра отражения.

Результаты. Рассмотрены случаи отражения линейно поляризованного излучения для следующих случаев: плоской границы двух диэлектриков, тонкой плоскопараллельной пластины и многослойного диэлектрического зеркала. Получены точные аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения, обобщающие случаи падения волн ТЕ- и ТМ-поляризаций на ограниченный одномерный фотонный кристалл. Экспериментально измерен коэффициент пропускания плоской ТЕ-волны для многослойного диэлектрического зеркала, напыленного на тонкую стеклянную пластину.

Выводы. Получено количественное и качественное согласование экспериментальных измерений коэффициента пропускания плоской волны, падающей из полупространства на ограниченный фотонный кристалл с теоретическими вычислениями. Показано, что полученные выражения для коэффициента пропускания ограниченного одномерного фотонного кристалла определяются интерференцией волн Флоке – Блоха, представленных в форме неоднородных волн, и могут быть приведены к виду, аналогичному для величины коэффициента прохождения традиционного интерферометра Фабри – Перо. В случае ТМ-поляризации при выполнении условия Брюстера на межслойных границах волна Флоке – Блоха имеет вид однородных плоских волн в слоях фотонного кристалла.

1. Lord Rayleigh. On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with periodic structure. Phyl. Mag. Ser. 5. 1887;24(147):145-159. https://doi.org/10.1080/14786448708628074

2. Lord Rayleigh. On the remarkable phenomenon of crystalline reflection described by Prof. Stokes. Phyl. Mag. Ser. 5. 1888;26(160):256-265. https://doi.org/10.1080/14786448808628259

3. Floquet G. Sur les equations differentielles linearies a coeffients periodiques. (Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Serie 2) Ann. Ecole Norm. Sup. 1883;12:47-88. https://doi.org/10.24033/asens.220

4. Bloch F. Uber die Quantenmechanic der elektronen in kristallgittern. Z. Phys. 1929;52(85):555-600. https://doi.org/10.1007/ BF01339455

5. Elachi C. Waves in active and passive periodical structures: A review. Proc. IEEE. 1976;64(12):1666-1698. https://doi.org/10.1109/PROC.1976.10409, URL: https://core.ac.uk/download/pdf/216300643.pdf

6. Winn J.N., Fink Y., Fan S., Joannopoulos J.D. Omnidirectional reflection from a one-dimensional photonic crystal. Opt. Lett. 1998;23(20):1573-1575. https://doi.org/10.1364/ol.23.001573

7. Chigrin D.N., Lavrinenko A.V., Yarotsky D.A., Gaponenko S.V. Observation of total omnidirectional reflection from a onedimensional dielectric lattice. Appl. Phys. A. 1999;68(1):25-28. https://doi.org/10.1007/s003390050849

8. Нурлигареев Д.Х., Сычугов В.А. Распространение света в одномерном фотонном кристалле: анализ методом функции Флоке-Блоха. Квантовая электроника. 2008;38(5):452-461. URL: https://www.elibrary.ru/tteynf

9. Нурлигареев Д.Х. Волны Флоке-Блоха одномерного фотонного кристалла: общая теория. Наукоемкие технологии. 2009;10(9):12-23.

10. Нурлигареев Д.X., Сычугов В.А. Методика определения параметров ячейки ограниченного одномерного фотонного кристалла, основанная на формализме функций Флоке-Блоха. Краткие сообщения по физике Физического института им. П.Н. Лебедева РАН. 2012;2:3-10. URL: https://www.elibrary.ru/ouillp

11. Caffrey S., Morozov G.V., Sprung D.W.L., Martorell J. Floquet-Bloch solutions in a sawtooth photonic crystal. Opt. Quantum Electron. 2017;49(3):112. https://doi.org/10.1007/s11082-017-0939-1

12. Ibrahim A., Sprung D.W.L., Morozov G.V. Construction and Floquet-Bloch analysis of analytically solvable Hill equations with smooth potentials. J. Opt. Soc. Am. B. 2018;35(6):1223-1232. https://doi.org/10.1364/JOSAB.35.001223

13. Shmat’ko A.A., Mizernik V.N., Odarenko E.N. Floquet-Bloch waves in magnetophotonic crystals with transverse magnetic field. J. Electromagn. Waves Appl. 2020;34(12):1667-1679. https://doi.org/10.1080/09205071.2020.1780955

14. Yeh P., Yariv A., Hong C.S. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. 1. General theory. J. Opt. Soc. Am. 1977;67(4):423-438. https://doi.org/10.1364/JOSA.67.000423

15. Walpita L.M. Solutions for planar optical waveguide equations by selecting zero elements in a characteristic matrix. J. Opt. Soc. Am. A. 1985;2(4):595-602. https://doi.org/10.1364/JOSAA.2.000595

16. Konopsky V. Design of 1D Photonic Crystals Sustaining Optical Surface Modes. Coatings. 2022;12(10):1489. https://doi.org/10.3390/coatings12101489

17. Segovia-Chaves F., Vinck-Posada H., Trabelsi Y., Ali N.B. Transmittance spectrum in a one-dimensional photonic crystal with Fibonacci sequence superconductor-semiconductor. Optik. 2020;217:164803. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2020.164803

18. Panda A., Pukhrambam P.D., Wu F., Belhadj W. Graphene-based 1D defective photonic crystal biosensor for real-time detection of cancer cells. Eur. Phys. J. Plus. 2021;136(8):809. https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-021-01796-z

19. Liu Z., Li X., Chen C., Wang X., Gao W., Ye W., Li L., Liu J. Bound states in the continuum in asymmetric one-dimensional photonic crystal systems guided by anisotropy. Opt. Express.2023;31(5):8384-8392. https://doi.org/10.1364/OE.482894

20. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: пер с англ. М.: Наука; 1970. 856 с.