mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2024-12-6-69-79OHJNSFmireabulletin-1032Research ArticleМИКРО- И НАНОЭЛЕКТРОНИКА. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯMICRO- AND NANOELECTRONICS. CONDENSED MATTER PHYSICSОтражение линейно поляризованных электромагнитных волн от многослойного периодического зеркалаReflections of linearly polarized electromagnetic waves from a multilayer periodic mirrorhttps://orcid.org/0009-0006-6412-0580НурлигареевД. Х.NurligareevD. Kh.

Нурлигареев Джамиль Хайдарович, д.ф.-м.н., профессор, кафедра физики, Институт перспективныхтехнологий и индустриального программирования

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Scopus Author ID 6602356533;

ResearcherID L-5323-2018

Dzamil Kh. Nurligareev, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Department of Physics, Institute for Advanced Technologies and Industrial Programming

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

Scopus Author ID 6602356533;

ResearcherID L-5323-2018

nurligareev@mirea.ruhttps://orcid.org/0000-0002-8185-5072НедоспасовИ. А.NedospasovI. A.

Недоспасов Илья Александрович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник; доцент, кафедра физики, Институт перспективных технологий и индустриального программирования

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78;

125009, Москва, ул. Моховая, д. 11

Scopus Author ID 56415098900;

ResearcherID G-6191-2016

Iliya A. Nedospasov, Cand. Sci. (Phys.–Math.), Senior Researcher, Kotelnikov Institute of Radio engeneering and Electronics; Associate Professor, Department of Physics, Institute for Advanced Technologies and Industrial Programming

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454;

11, Mokhovaya ul., Moscow, 125009

Scopus Author ID 56415098900;

ResearcherID G-6191-2016

nedospasov@mirea.ruhttps://orcid.org/0009-0008-2967-8372ХаритоноваК. Ю.KharitonovaK. Yu.

Харитонова Ксения Юрьевна, к.ф.-м.н., доцент, кафедра физики, Институт перспективных технологий и индустриального программирования

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Scopus Author ID 6603407254

Kseniya Yu. Kharitonova, Cand. Sci. (Phys.–Math.), Associate Professor, Department of Physics, Institutefor Advanced Technologies and Industrial Programming

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

Scopus Author ID 6603407254

kharitonova_k@mirea.ruМИРЭА – Российский технологический университетРоссияMIREA – Russian Technological UniversityRussian FederationМИРЭА – Российский технологический университет; Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАНРоссияMIREA – Russian Technological University; Kotelnikov Institute of Radioengeneering and Electronics, Russian Academy of SciencesRussian Federation2024051220241266979Copyright © Нурлигареев Д.Х., Недоспасов И.А., Харитонова К.Ю., 20242024Нурлигареев Д.Х., Недоспасов И.А., Харитонова К.Ю.Nurligareev D.K., Nedospasov I.A., Kharitonova K.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1032Цели

Цели. Цель работы – теоретическое и экспериментальное исследование углового спектра отражения линейно поляризованных электромагнитных волн от многослойного периодического зеркала на прозрачной подложке, вывод точных аналитических выражений для коэффициентов отражения и прохождения, обобщающих случаи падения плоских ТЕ-(transverse electric) и ТМ-мод (transverse magnetic) на ограниченные периодические структуры со ступенчатым профилем показателя преломления.

Методы

Методы. Теоретический анализ задачи отражения основан на поиске точных аналитических решений в виде волн Флоке – Блоха, представленных в форме неоднородных волн, в области периодически структурированных сред. На основе того факта, что в ограниченном одномерном фотонном кристалле возможно существование одиночной волны Флоке – Блоха, предлагается искать точные решения волнового уравнения в виде линейной комбинации волн Флоке – Блоха, бегущих в разные стороны. Канонические формы рассматриваемых периодических структур позволяют достаточно просто осуществлять переход от случая ТЕ-поляризации к ТМ-типу в дисперсионных соотношениях и выражениях для углового спектра отражения.

Результаты

Результаты. Рассмотрены случаи отражения линейно поляризованного излучения для следующих случаев: плоской границы двух диэлектриков, тонкой плоскопараллельной пластины и многослойного диэлектрического зеркала. Получены точные аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения, обобщающие случаи падения волн ТЕ- и ТМ-поляризаций на ограниченный одномерный фотонный кристалл. Экспериментально измерен коэффициент пропускания плоской ТЕ-волны для многослойного диэлектрического зеркала, напыленного на тонкую стеклянную пластину.

Выводы

Выводы. Получено количественное и качественное согласование экспериментальных измерений коэффициента пропускания плоской волны, падающей из полупространства на ограниченный фотонный кристалл с теоретическими вычислениями. Показано, что полученные выражения для коэффициента пропускания ограниченного одномерного фотонного кристалла определяются интерференцией волн Флоке – Блоха, представленных в форме неоднородных волн, и могут быть приведены к виду, аналогичному для величины коэффициента прохождения традиционного интерферометра Фабри – Перо. В случае ТМ-поляризации при выполнении условия Брюстера на межслойных границах волна Флоке – Блоха имеет вид однородных плоских волн в слоях фотонного кристалла.

Objectives

Objectives. The purpose of the article is to carry out a theoretical and experimental study of the angular reflection spectrum of linearly polarized electromagnetic waves from a multilayer periodic mirror on a transparent substrate to exact analytical expressions for reflection and transmission coefficients generalizing the cases of incidence of plane transverse electric (TE) and transverse magnetic (TM) modes on limited periodically structured media with a stepped refractive index profile.

Methods

Methods. The theoretical analysis of the reflection problem is based on the search for exact analytical solutions in the form of Floquet–Bloch waves presented in the form of inhomogeneous waves in the domain of periodically structured media. On the basis of the possible existence of a single Floquet–Bloch wave in a limited onedimensional photonic crystal, it is proposed to search for exact solutions of the wave equation in the form of a linear combination of inhomogeneous waves propagating in different directions. By using the canonical forms of the considered periodic structures, it is possible to carry out the simple transition from the case of TE polarization to TM type in dispersion relations and expressions for the angular reflection spectrum.

Results

Results. Cases of reflection of linearly polarized radiation are considered for the following cases: a flat boundary of two dielectrics, a thin plane-parallel plate, and a multilayer dielectric mirror. Exact analytical expressions for the reflection and transmission coefficients generalizing the cases of incidence of TE and TM polarizations waves on a limited one-dimensional photonic crystal are obtained. The transmission coefficients of a plane TE wave from a multilayer dielectric mirror sputtered on thin glass were experimentally measured.

Conclusions

Conclusions. A quantitative and qualitative agreement of experimental measurements of the transmission coefficient of a plane wave incident from a half-space on a confined photonic crystal with theoretical calculations is obtained. The obtained expressions for the transmission coefficient of a confined one-dimensional photonic crystal, which are shown to be determined by the interference of Floquet–Bloch waves presented in the form of inhomogeneous waves, can be reduced to a form analogous to the expression for the value of the transmission coefficient of a traditional Fabry–Pérot interferometer. In the case of TM polarization, when the Brewster condition is fulfilled at the interlayer boundaries, the Floquet–Bloch wave has the form of homogeneous plane waves in the layers of a photonic crystal.

электромагнитные волныпериодическая средамногослойное зеркалоодномерный фотонный кристаллволны Флоке – Блохаelectromagnetic wavesperiodic mediummultilayer mirrorone-dimensional photonic crystalFloquet–Bloch wavesИ.А. Недоспасов благодарит Российский научный фонд (проект № 22-79-10267) за частичную поддержку.I.A. Nedospasov thanks the Russian Science Foundation (grant № 22-79-10267) for financial supportReferencesLord Rayleigh. On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with periodic structure. Phyl. Mag. Ser. 5. 1887;24(147):145–159. https://doi.org/10.1080/14786448708628074Lord Rayleigh. On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with periodic structure. Phyl. Mag. Ser. 5. 1887;24(147):145–159. https://doi.org/10.1080/14786448708628074Lord Rayleigh. On the remarkable phenomenon of crystalline reflection described by Prof. Stokes. Phyl. Mag. Ser. 5. 1888;26(160):256–265. https://doi.org/10.1080/14786448808628259Lord Rayleigh. On the remarkable phenomenon of crystalline reflection described by Prof. Stokes. Phyl. Mag. Ser. 5. 1888;26(160):256–265. https://doi.org/10.1080/14786448808628259Floquet G. Sur les equations differentielles linearies a coeffients periodiques. (Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Serie 2) Ann. Ecole Norm. Sup. 1883;12:47–88. https://doi.org/10.24033/asens.220Floquet G. Sur les equations differentielles linearies a coeffients periodiques. (Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Serie 2) Ann. Ecole Norm. Sup. 1883;12:47–88. https://doi.org/10.24033/asens.220Bloch F. Uber die Quantenmechanic der elektronen in kristallgittern. Z. Phys. 1929;52(85):555–600. https://doi.org/10.1007/ BF01339455Bloch F. Uber die Quantenmechanic der elektronen in kristallgittern. Z. Phys. 1929;52(85):555–600. https://doi.org/10.1007/BF01339455Elachi C. Waves in active and passive periodical structures: A review. Proc. IEEE. 1976;64(12):1666–1698. https://doi.org/10.1109/PROC.1976.10409, URL: https://core.ac.uk/download/pdf/216300643.pdfElachi C. Waves in active and passive periodical structures: A review. Proc. IEEE. 1976;64(12):1666–1698. https://doi.org/10.1109/PROC.1976.10409. Available from URL: https://core.ac.uk/download/pdf/216300643.pdfWinn J.N., Fink Y., Fan S., Joannopoulos J.D. Omnidirectional reflection from a one-dimensional photonic crystal. Opt. Lett. 1998;23(20):1573–1575. https://doi.org/10.1364/ol.23.001573Winn J.N., Fink Y., Fan S., Joannopoulos J.D. Omnidirectional reflection from a one-dimensional photonic crystal. Opt. Lett. 1998;23(20):1573–1575. https://doi.org/10.1364/OL.23.001573Chigrin D.N., Lavrinenko A.V., Yarotsky D.A., Gaponenko S.V. Observation of total omnidirectional reflection from a onedimensional dielectric lattice. Appl. Phys. A. 1999;68(1):25–28. https://doi.org/10.1007/s003390050849Chigrin D.N., Lavrinenko A.V., Yarotsky D.A., Gaponenko S.V. Observation of total omnidirectional reflection from a onedimensional dielectric lattice. Appl. Phys. A. 1999;68(1):25–28. https://doi.org/10.1007/s003390050849Нурлигареев Д.Х., Сычугов В.А. Распространение света в одномерном фотонном кристалле: анализ методом функции Флоке-Блоха. Квантовая электроника. 2008;38(5):452–461. URL: https://www.elibrary.ru/tteynfNurligareev D.K., Sychugov V.A. Propagation of light in a one-dimensional photonic crystal: analysis by the Floquet–Bloch function method. Quantum Electron. 2008;38(5):452–461. https://doi.org/10.1070/QE2008v038n05ABEH013653 [Original Russian Text: Nurligareev D.K., Sychugov V.A. Propagation of light in a one-dimensional photonic crystal: analysis by the Floquet–Bloch function method. Kvantovaya elektronika. 2008;38(5):452–461. Available from URL: https://www.elibrary.ru/tteynf ]Нурлигареев Д.Х. Волны Флоке-Блоха одномерного фотонного кристалла: общая теория. Наукоемкие технологии. 2009;10(9):12–23.Nurligareev D.K. Floquet-Bloch waves of a one-dimensional photonic crystal: a general theory. Naukoemkie tekhnologii. 2009;10(9):12–23 (in Russ.).Нурлигареев Д.X., Сычугов В.А. Методика определения параметров ячейки ограниченного одномерного фотонного кристалла, основанная на формализме функций Флоке-Блоха. Краткие сообщения по физике Физического института им. П.Н. Лебедева РАН. 2012;2:3–10. URL: https://www.elibrary.ru/ouillpNurligareev D.K., Sychugov V.A. Technique for determining the cell parameters of the confined one-dimensional photonic crystal, based on the Floquet-Bloch formalism. Bull. Lebedev Phys. Inst. 2012;39(2):33–37. https://doi.org/10.3103/S1068335612020017 [Original Russian Text: Nurligareev D.K., Sychugov V.A. Technique for determining the cell parameters of the confined one-dimensional photonic crystal, based on the Floquet-Bloch formalism. Kratkie soobshcheniya po fizike. 2012;2:3–10 (in Russ.). Available from URL: https://www.elibrary.ru/ouillp ]Caffrey S., Morozov G.V., Sprung D.W.L., Martorell J. Floquet–Bloch solutions in a sawtooth photonic crystal. Opt. Quantum Electron. 2017;49(3):112. https://doi.org/10.1007/s11082-017-0939-1Caffrey S., Morozov G.V., Sprung D.W., Martorell J. Floquet–Bloch solutions in a sawtooth photonic crystal. Opt. Quantum Electron. 2017;49(3):112. https://doi.org/10.1007/s11082-017-0939-1Ibrahim A., Sprung D.W.L., Morozov G.V. Construction and Floquet–Bloch analysis of analytically solvable Hill equations with smooth potentials. J. Opt. Soc. Am. B. 2018;35(6):1223–1232. https://doi.org/10.1364/JOSAB.35.001223Ibrahim A., Sprung D.W.L., Morozov G.V. Construction and Floquet–Bloch analysis of analytically solvable Hill equations with smooth potentials. J. Opt. Soc. Am. B. 2018;35(6):1223–1232. https://doi.org/10.1364/JOSAB.35.001223Shmat’ko A.A., Mizernik V.N., Odarenko E.N. Floquet-Bloch waves in magnetophotonic crystals with transverse magnetic field. J. Electromagn. Waves Appl. 2020;34(12):1667–1679. https://doi.org/10.1080/09205071.2020.1780955Shmat’ko A.A., Mizernik V.N., Odarenko E.N. Floquet-Bloch waves in magnetophotonic crystals with transverse magnetic field. J. Electromagn. Waves Appl. 2020;34(12):1667–1679. https://doi.org/10.1080/09205071.2020.1780955Yeh P., Yariv A., Hong C.S. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. 1. General theory. J. Opt. Soc. Am. 1977;67(4):423–438. https://doi.org/10.1364/JOSA.67.000423Yeh P., Yariv A., Hong C.S. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. 1. General theory. J. Opt. Soc. Am. 1977;67(4):423–438. https://doi.org/10.1364/JOSA.67.000423Walpita L.M. Solutions for planar optical waveguide equations by selecting zero elements in a characteristic matrix. J. Opt. Soc. Am. A. 1985;2(4):595–602. https://doi.org/10.1364/JOSAA.2.000595Walpita L.M. Solutions for planar optical waveguide equations by selecting zero elements in a characteristic matrix. J. Opt. Soc. Am. A. 1985;2(4):595–602. https://doi.org/10.1364/JOSAA.2.000595Konopsky V. Design of 1D Photonic Crystals Sustaining Optical Surface Modes. Coatings. 2022;12(10):1489. https://doi.org/10.3390/coatings12101489Konopsky V. Design of 1D Photonic Crystals Sustaining Optical Surface Modes. Coatings. 2022;12(10):1489. https://doi.org/10.3390/coatings12101489Segovia-Chaves F., Vinck-Posada H., Trabelsi Y., Ali N.B. Transmittance spectrum in a one-dimensional photonic crystal with Fibonacci sequence superconductor–semiconductor. Optik. 2020;217:164803. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2020.164803Segovia-Chaves F., Vinck-Posada H., Trabelsi Y., Ali N.B. Transmittance spectrum in a one-dimensional photonic crystal with Fibonacci sequence superconductor–semiconductor. Optik. 2020;217:164803. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2020.164803Panda A., Pukhrambam P.D., Wu F., Belhadj W. Graphene-based 1D defective photonic crystal biosensor for real-time detection of cancer cells. Eur. Phys. J. Plus. 2021;136(8):809. https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-021-01796-zPanda A., Pukhrambam P.D., Wu F., Belhadj W. Graphene-based 1D defective photonic crystal biosensor for real-time detection of cancer cells. Eur. Phys. J. Plus. 2021;136(8):809. https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-021-01796-zLiu Z., Li X., Chen C., Wang X., Gao W., Ye W., Li L., Liu J. Bound states in the continuum in asymmetric one-dimensional photonic crystal systems guided by anisotropy. Opt. Express.2023;31(5):8384–8392. https://doi.org/10.1364/OE.482894Liu Z., Li X., Chen C., Wang X., Gao W., Ye W., Li L., Liu J. Bound states in the continuum in asymmetric one-dimensional photonic crystal systems guided by anisotropy. Opt. Express.2023;31(5):8384–8392. https://doi.org/10.1364/OE.482894Борн М., Вольф Э. Основы оптики: пер с англ. М.: Наука; 1970. 856 с.Born M., Wolf E. Osnovy optiki (Principles of Optics). Transl. from Engl. Moscow: Nauka; 1970. 856 p. (in Russ.). [Born M., Wolf E. Principles of Optics. Oxford, London, Edinburg, New York, Paris, Frankfurt: Pergamon Press; 1964, 856 p.]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.