Математическая модель гравитационного потенциала планеты с учетом приливных деформаций

Цели. В работе исследуется гравитационный потенциал вязкоупругой планеты, совершающей движение в гравитационном поле массивного притягивающего центра (звезды), спутника и еще одной или нескольких планет, движущихся по кеплеровским эллиптическим орбитам относительно притягивающего центра. Отличные от вязкоупругой планеты небесные тела моделируются материальными точками. В рамках линейной модели теории вязкоупругости решается задача нахождения вектора упругого смещения. Традиционно для определения гравитационного поля Земли используется модель твердого тела, а учет приливных деформаций отражается в виде малых поправок к коэффициентам модели геопотенциала. В данной работе для учета приливных эффектов используется модель вязкоупругого шара. Актуальность темы исследования связана с высокоточным прогнозированием движения искусственных спутников Земли, высокоточным измерением гравитационного поля Земли.
Методы. Используются асимптотические и аналитические методы, разработанные В.Г. Вильке для механических систем, содержащих вязкоупругие элементы большой жесткости, методы классической механики, математического анализа. Построение графиков выполнено с помощью математического пакета Octave.
Результаты. На основе решения квазистатической задачи теории упругости путем вычисления тройных интегралов по шаровой области получена формула для гравитационного потенциала деформируемой планеты, а также вычислен гравитационный потенциал Земли с учетом твердотельных приливных эффектов от Луны, Солнца и Венеры во внешней точке. Построены графики, показывающие зависимость гравитационного потенциала Земли от времени.
Выводы. Из полученных теоретических и численных результатов следует, что основной вклад в гравитационный потенциал Земли вносят Луна и Солнце. Влияние других планет Солнечной системы мало. Значение гравитационного потенциала во внешней точке Земли с учетом приливных эффектов зависит как от положения точки в подвижной системе координат, так и от взаимного расположения небесных тел. 

1. Молоденский М.С. Избранные труды. Гравитационное поле. Фигура и внутреннее строение Земли. М.: Наука; 2001. 569 с. ISBN 5-02-002331-0

2. Молоденский С.М. Приливы, нутация и внутреннее строение Земли. М.: Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта; 1984. 215 c.

3. Efroimsky M., Williams J.G. Tidal torques. Acritical review of some techniques. Celest. Mech. Dyn. Astr. 2009;104(3):257–289. https://doi.org/10.1007/s10569-009-9204-7

4. Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе: пер. с англ. М.: Наука; 1965. 252 с.

5. Приливы и резонансы в Солнечной системе: сборник статей: пер. с англ. под ред. В.Н. Жаркова. М.: Мир; 1975. 288 с.

6. Petit G., Luzum B. (Eds.). IERS Conventions (2010). IERS Technical Note 36. Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie; 2010. 179 p. ISBN 3-89888-989-6

7. Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Прикладная математика и механика. 1980;44(3):395–402.

8. Makarov V.V., Berghea C., Efroimsky M. Dynamical evolution and spin-orbit resonances of potentially habitable exoplanets. The case of GJ 581d. Astrophys. J. 2012;761(2):83–96. https://doi.org/10.1088/0004-637X/761/2/83

9. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.: Физматлит; 2002. 384 с. ISBN 5-9221-0244-3

10. Баранова Е.Ю., Вильке В.Г. Вращение упругого шара вокруг центра масс в гравитационном поле двух притягивающих центров. Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2014;3:33–40.

11. Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Рыхлова Л.В., Филиппова А.С. Численно-аналитический подход к моделированию осевого вращения Земли. Астрономический журнал. 2018;95(4):317–326. https://doi.org/10.7868/S0004629918040047

12. Сидоренков Н.С. Небесно-механические причины изменений погоды и климата. Геофизические процессы и биосфера. 2015;14(3):5–26.

13. Sottili G., Martino S., Palladino D.M., Paciello A., Bozzano F. Effects of tidal stresses on volcanic activity at Mount Etna, Italy. Geophys. Res. Lett. 2007;34(1):L01311. https://doi.org/10.1029/2006GL028190

14. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука; 1977. 360 с.

15. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука; 1990. 448 с. ISBN 5-02014090-2

16. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд. дом Томского гос. ун-та; 2016. 254 с. ISBN 978-5-9462-1607-4

17. Гусев И.В. Оценка влияния приливных эффектов на низкоорбитальные ИСЗ. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. 2013;57(2):18–24.

18. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: URSS; 2023. 200 с. ISBN 978-5-9710-3847-4

19. Borets A.S., Shatina A.V. Gravitational potential of a planet modeled by a visco-elastic sphere. J. Phys.: Conf. Ser. 2020;1705:012001. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1705/1/012001

20. Борец А.С., Шатина А.В. Математическая модель гравитационного потенциала планеты с учетом диссипации. Фундаментальные, поисковые, прикладные исследования и инновационные проекты: сборник трудов Национальной научно-практической конференции. M.: РТУ МИРЭА; 2022. С. 132–136.

21. Вильке В.Г. Теоретическая механика: учебник и практикум для вузов. М.: Юрайт; 2023. 311 с. ISBN 978-5-5340-3481-3

22. Вильке В.Г., Шатина А.В. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника. Космические исследования. 2004;42(1):95–106.

23. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы: пер. с англ. М.: Физматлит; 2010. 588 с. ISBN 978-5-9221-1121-8