Свойства определителя Вронского системы решений линейного однородного уравнения: случай, когда число решений меньше порядка уравнения

Цели. Целью работы является изучение свойств определителя Вронского системы решений линейного однородного дифференциального уравнения в случае, когда число решений меньше порядка уравнения, и сравнение их с известными свойствами такого же определителя, но в случае равенства числа решений порядку уравнения.

Методы. В работе использованы методы линейной алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также математического и комплексного анализа.

Результаты. Показано, что обращение в нуль рассматриваемого определителя на сколь угодно малом интервале влечет за собой обращение его в нуль на всей области определения, а решения при этом оказываются линейно зависимыми. В трех случаях: 1) если коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями, 2) если число решений равно единице и 3) если число решений на единицу меньше порядка уравнения – получен более сильный результат. Именно, если множество нулей рассматриваемого определителя Вронского имеет предельную точку, принадлежащую области определения решений, то определитель тождественно равен нулю и решения линейно зависимы.

Выводы. Полученные результаты означают, что определитель Вронского системы решений линейного однородного уравнения в ситуации, когда число решений меньше порядка уравнения, служит индикатором линейной зависимости или независимости этой системы: решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского тождественно равен нулю. При этом нет необходимости проверять обращение определителя в нуль на всей области определения, достаточно сделать это на произвольно выбранном интервале или даже (в перечисленных выше частных случаях) на произвольно выбранном множестве, имеющем предельную точку.

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит; 2005. 320 с.

2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: URSS; 2021. 206 с.

3. Эндрюс Дж., Мак-Лоун Р. (ред.). Математическое моделирование; пер. с англ. М.: Мир; 1979. 278 с.

4. Saaty T.L., Alexander J.M. Thinking with Models: Mathematical Models in the Physical, Biological and Social Sciences. N.Y.: Pergamon Press; 1981. 187 p.

5. Gershenfeld N.A. The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge University Press; 1998. 356 p.

6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: URSS; 2022. 240 с.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань; 2003. 576 с.

8. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.: Лаборатория знаний; 2022. 344 с.

9. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: URSS; 2022. 248 с.

10. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: URSS; 2023. 336 с.

11. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука; 1984. 272 с.

12. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: URSS; 2023. 312 с.

13. Марченко Е.П. Свойства определителя Вронского системы функций, состоящей из (n–1)-го решения линейного однородного уравнения порядка n. Научный альманах. 2017;10–2(36):155–167. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=30675761

14. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: URSS; 2021. 440 с.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Лань; 2002. 688 с.