Экстремум в задаче о парных сравнениях

Цели. Рассмотрена задача оценки альтернатив на основе результатов экспертных парных сравнений. Важность и актуальность этой задачи обусловлены ее многочисленными применениями в самых разных областях – как в технических и естественных, так и в гуманитарных, от строительства до политики. Ставится задача вычисления вектора объективных рейтингов на основе экспертных оценок. В математической формулировке задача нахождения вектора объективных рейтингов сводится к аппроксимации матриц парных сравнений согласованными матрицами.

Методы. Используются аналитические методы анализа и высшей алгебры. Для некоторых частных случаев приведены результаты численных расчетов.

Результаты. В работе доказана теорема, утверждающая, что согласованная матрица, наилучшим образом аппроксимирующая заданную обратно-симметрическую матрицу в лог-евклидовой метрике, всегда существует и единственна. Кроме того, выведены формулы для вычисления такой согласованной матрицы. Для малых размерностей рассматриваются примеры, позволяющие сравнить результаты, полученные по выведенной формуле, с результатами для других известных способов нахождения согласованной матрицы – для вычисления собственного вектора и для минимизации невязки в лог-чебышевской метрике. Доказано, что в размерности 3 все эти способы приводят к одному и тому же результату, а уже в размерности 4 все результаты различны.

Выводы. Полученные в статье результаты позволяют вычислять вектор объективных рейтингов по данным экспертной оценки. Этот метод может быть использован в стратегическом планировании в тех случаях, когда выводы и рекомендации возможны только на основании экспертных суждений.

1. Коробов В.Б. Теория и практика экспертных методов. М.: ИНФРА-М; 2019. 279 с. ISBN 978-5-16015053-6. https://doi.org/10.12737/monography_5caee0067f1835.43206494

2. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика; 2004. 467 с. ISBN 5-279-02901-7

3. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь; 1993. 314 с. ISBN 5-256-00443-3

4. Саати Т. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: аналитические сети. М.: URSS; 2010. 357 с. ISBN 978-5-397-01622-3

5. Breiman L. Random forests. Machine Learning. 2001;45(1): 5–32. https://doi.org/10.1023/A:1010933404324

6. Belov V., Tatarintsev A., Nikulchev E. Comparative characteristics of big data storage formats. J. Phys.: Conf. Ser. 2021;1727(1):012005. http://doi.org/10.1088/1742-6596/1727/1/012005

7. Belov V., Tatarintsev A., Nikulchev E. Choosing a data storage format in the Apache Hadoop system based on experimental evaluation using Apache Spark. Symmetry. 2021;13(2):195. https://doi.org/10.3390/sym13020195

8. Moro Visconti R., Morea D. Big data for the sustainability of healthcare project financing. Sustainability. 2019;11(13):3748. https://doi.org/10.3390/su11133748

9. Gusev A., Ilin D., Nikulchev E. The dataset of the experimental evaluation of software components for application design selection directed by the artificial bee colony algorithm. Data. 2020;5(3):59. https://doi.org/10.3390/data5030059

10. Munir R.F., Abelló A., Romero O., Thiele M., Lehner W. A cost-based storage format selector for materialized resultsinbigdataframeworks. Distrib. Parallel Databases. 2020;38(3):335–364. https://doi.org/10.1007/s10619-019-07271-0

11. Gusev A., Ilin D., Kolyasnikov P., Nikulchev E. Effective selection of software components based on experimental evaluations of quality of operation. Eng. Lett. 2020;28(2):420–427.

12. Кривулин Н.К., Агеев В.А., Гладких И.В. Применение методов тропической оптимизации для оценки альтернатив на основе парных сравнений. Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2017;13(1):27–41. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2017.103

13. Литвинов Г.Л. Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение. Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН (Записки научных семинаров ПОМИ). 2005;326(13):145–182.

14. Гантмахер Ф Р. Теория матриц. М.: Физматлит; 2004. 560 с. ISBN 5-9221-0524-8

15. Евсеева О.А., Пулькин И.С., Татаринцев А.В. О задаче обработки экспертных суждений. Инновационные технологии в электронике и приборостроении: сборник трудов конференции. М.: РТУ МИРЭА; 2021. Т. 1. С. 355–359.