Новые операционные соотношения для математических моделей локально-неравновесного теплообмена

Цели. В последние годы усилился интерес к изучению локально-неравновесных процессов в связи с развитием лазерных технологий, возможностью получения сверхвысоких температур и давлений, а также ввиду необходимости математического описания различных физических процессов в экстремальных условиях. При моделировании локально-неравновесных процессов возникает необходимость учета внутренней структуры исследуемых объектов, что приводит к существенному усложнению классических моделей переноса. Важным этапом в развитии указанной области является построение математических моделей разнообразных физических полей с учетом их пространственно-временной нелокальности. Для этих целей используются уравнения гиперболического типа для широкого класса явлений и, прежде всего, для процессов нестационарной теплопроводности на основе обобщенной феноменологии Максвелла – Каттанео – Лыкова – Вернотта. Математические модели в виде краевых задач для уравнений гиперболического типа носят название краевых задач обобщенного типа. Эти задачи значительно отличаются от классических на основе феноменологии Фурье по сложности их решения. Их специфика заключается в относительной простоте исходных математических моделей и трудности решения в аналитически замкнутом виде. Отсюда весьма незначительные успехи в нахождении точных аналитических решений такого рода задач. Наиболее приемлемый метод их решения – операционный, но он приводит к аналитическим решениям в пространстве изображений по Лапласу в виде сложных функциональных конструкций, оригиналы которых не содержатся в известных справочниках по операционному исчислению. На этом пути возникают серьезные трудности вычислительного характера.
Цель работы – рассмотреть серию нестандартных изображений, возникающих при операционном решении математических моделей локально-неравновесного теплообмена и получить их оригиналы. Методы. Использованы методы и теоремы операционного исчисления, методы контурного интегрирования сложных изображений, теория специальных функций.
Результаты. Представлено развитие операционного исчисления для математических моделей локально-неравновесного теплопереноса в терминах теории нестационарной теплопроводности для уравнений гиперболического типа (волновых уравнений). Рассмотрены нестандартные операционные изображения, оригиналы которых ранее были неизвестны. Показано, что приведенные изображения являются характерными для операционных решений широкого класса обобщенных краевых задач для уравнений гиперболического типа в теории теплопроводности, диффузии, гидродинамики, колебаний, распространения электричества, термомеханики и других направлений науки и техники. Изучены частично ограниченные и конечные области. Приведены иллюстративные примеры в качестве численных экспериментов локально-неравновесного процесса теплообмена с учетом конечной скорости распространения теплоты, имеющей волновой характер. Последнее выражается наличием ступенчатой функции Хевисайда в аналитическом решении задачи. Обоснован физический смысл конечной скорости распространения теплоты; построена изохрона для температурной функции в частично ограниченной области и показано, что на поверхности фронта идущей волны температурный профиль имеет разрыв. Это приводит к задержанию оттока теплоты за границу разрыва – характерная особенность аналитических решений волновых уравнений, к которой следует добавить возможность описания аналитического решения задачи в виде эквивалентных интегральных соотношений, существенно упрощающих числовые расчеты.
Выводы. Представлены оригиналы нестандартных операционных изображений (по Лапласу), входящие в операционные решения широкого класса задач локально-неравновесных процессов переноса (теплоты, массы, импульса), электрических цепей, гидродинамики, теории колебаний, термомеханики и других областей. Приведены иллюстративные примеры и показана возможность перехода от одной формы аналитического решения к другой эквивалентной форме. Представленные аналитические решения гиперболических моделей теплопереноса в областях канонического типа являются новыми в классической теплофизике.

1. Зудин Ю.Б., Уртенов Д.С., Устинов В.С. Анализ сопряженной задачи испарение-теплопроводность. Изв. РАН. Энергетика. 2020;1:138−158. https://doi.org/10.31857/S0002331019060153

2. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа; 2001. 540 с. ISBN 5-06-004091-7

3. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений. М.: URSS; 2012. 1080 с. ISBN 978-5-9710-4994-4

4. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа; 1967. 600 с.

5. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат; 1983. 328 с.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ; 1999. 799 с. ISBN 5-211-04138-0

7. Формалев В.Ф. Уравнения математической физики. М.: URSS; 2021. 648 с. ISBN 978-5-9710-8380-1

8. Sobolev S.L. On hyperbolic heat-mass transfer equation. Int. J. Heat Mass Tran. 2018;122:629−630. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.02.022

9. Кудинов И.В., Кудинов В.А. Математическая модель локально-неравновесного теплопереноса с учетом пространственно-временной нелокальности. Инженерно-физ. журн. 2015;88(2):393−408.

10. Кудинов В.А., Еремин А.В., Кудинов И.В. Разработка и исследование сильно неравновесной модели теплообмена в жидкости с учетом пространственно-временной нелокальности. Теплофизика и аэромеханика. 2017;24(6):929−935.

11. Кирсанов Ю.А., Кирсанов А.Ю. Об измерении времени тепловой релаксации твердых тел. Изв. РАН. Энергетика. 2015;1:113−122.

12. Карташов Э.М. Модельные представления теплового удара в динамической термоупругости. Российский технологический журнал. 2020;8(2):85−108. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2020-8-2-85-108

13. Карташов Э.М. Теория теплового удара на основе обобщенной модели динамической термоупругости. Тонкие химические технологии. 2012;7(1);69−72.

14. Синкевич О.А., Семенов А.М. Решение уравнения Больцмана методом разложения функции распределения в ряд Энскога по параметру Кнудсена в случае наличия нескольких масштабов зависимости функции распределения от времени и координат. Журн. техн. физики. 2003;73(10):1−5.

15. Maxwell J.C. On the Dynamical Theory of Gases. Phil. Trans. Royal. Soc. London. 1867;157(1):49−88. https://doi.org/10.1098/rstl.1867.0004

16. Лыков А.В. Теплопроводность и диффузия в производстве кожи, заменителей и других материалов. М.: Гизлегпром; 1941. 196 с.

17. Cattaneo C. Sulla Conduzione del Calore. Attidel Seminaro Matematiko e Fisicodella Universita di Modena. 1948;3:83−101.

18. Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue de lʼeguation de la chaleur. Comptes Rendus. Acad. Sci. Paris. 1958;246(22):3154−3155.

19. Кирсанов Ю.А. Циклические тепловые процессы и теория теплопроводности в регенеративных воздухоподогревателях. М.: Физматлит; 2007. 240 с. ISBN 978-5-9221-0831-7

20. Карташов Э.М. Аналитические решения гиперболических моделей теплопроводности. Инженерно-физ. журн. 2014;87(5):1072−1081.

21. Фок И.А. Решение задачи теории диффузии методом конечных разностей и приложение его к диффузии света. Труды государственного оптического института. 1926;4(34). 32 с.

22. Давыдов Б.И. Диффузионное уравнение с учетом молекулярной скорости. ДАН СССР. 1935;2:474−475.

23. Предводителев А.С. Учение о теплоте и римановы многообразия. В кн.: Проблемы тепло- и массопереноса. М.: Энергия; 1970. С. 151−192.

24. Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике: пер с англ. М.: ИЛ; 1948. 292 с.

25. Baumeister K., Hamill T.D. Hyperbolic heat-conduction equation. A Solution for the semi-infinite body problem. J. Heat Transfer. 1969;91(1):543−548. https://doi.org/10.1115/1.3449749

26. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова Думка; 1976. 310 с.

27. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа; 1966. 466 с.