Двухэтапная сплайн-аппроксимация в компьютерном проектировании трасс линейных сооружений

В статье компьютерное проектирование трасс линейных сооружений рассматривается как за-дача сплайн-аппроксимации. Принципиальной особенностью соответствующих проектных задач является то, что план и продольный профиль трассы состоят из элементов заданного вида. В зависимости от типа линейного сооружения используются отрезки прямых, дуги окружностей, парабол второй степени, клотоид и др. В любом случае результатом проектирования является кривая, состоящая из нужной последовательности элементов заданного вида. В точках сопряжения элементы, как правило, имеют общую касательную, а в наиболее сложном случае – и общую кривизну. Подобные кривые принято называть сплайнами. В отличие от других применений сплайнов в проектировании трасс линейных сооружений приходится учитывать многочисленные ограничения на параметры элементов сплайна, возникающие из необходимости соблюдения технических нормативов с целью обеспечения нормальной эксплуатации будущего сооружения. Технические ограничения формализуются в виде системы неравенств. Главная отличительная особенность рассматриваемых проектных задач состоит в том, что число элементов искомого сплайна неизвестно и должно быть определено в процессе решения задачи. Это обстоятельство принципиально усложняет задачу и не позволяет применить для ее решения математические модели и алгоритмы нелинейного программирования, так как неизвестна размерность задачи. В статье предлагается двухэтапная схема сплайн-аппроксимации плоской кривой, заданной последовательностью точек, при неизвестном числе элементов сплайна и наличии ограничений на параметры его элементов. На первом этапе определяется число элементов сплайна и приближенное решение задачи аппроксимации. Используется метод динамического программирования. На втором этапе выполняется оптимизация параметров элементов сплайна. Используются алгоритмы нелинейного программирования, разработанные с учетом особенностей системы ограничений. При этом на каждой итерации процесса оптимизации для соответствующего набора активных ограничений строится базис в нуль-пространстве матрицы ограничений. Это позволяет найти направление спуска и решить вопрос об исключении ограничений из активного набора без решения систем линейных уравнений вообще, а в наиболее сложных случаях − решая линейные системы малой размерности. В качестве целевой функции наряду с традиционно используемой суммой квадратов отклонений аппроксимируемых точек от сплайна в статье предлагаются другие функции с учетом специфики конкретной проектной задачи.

1. Струченков В.И. Использование математических методов оптимизации и ЭВМ при проектировании продольного профиля железных дорог; под ред. Б.К. Малявского. Серия: Труды Всесоюзного научно-исследовательского института транспортного строительства. Вып. 101. М.: Транспорт; 1977. 169 с.

2. Струченков В.И. Компьютерные технологии в проектировании трасс линейных сооружений. Российский технологический журнал. 2017;5(1):29−41. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2017-5-1-29-41

3. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения: пер. с англ. М.: Мир; 1972. 312 с.

4. Хакимов Б.В. Моделирование корреляционных зависимостей сплайнами на примерах в геологии и экологии. СПб.: Нева; 2003. 144 с. ISBN 5-7654-2951-3

5. Dierckx P. Curve and Surface fitting with splines. Oxford University Press; 1995. 285 p.

6. Михалевич В.С., Быков В.И., Сибирко А.Н. К вопросу проектирования оптимального продольного профиля дороги. Транспортное строительство. 1975;6:39−40.

7. Космин В.В., Струченков В.И., Фрадков Е.Б. Проектирование продольного профиля дороги на ЭВМ. Транспортное строительство. 1971;4:38−42.

8. Bentley Rail Track. URL: https://www.bentley.com/-/media/1EA2B937CB5B42BEA5EAE802620C0BA3.ashx

9. CARD/1. URL: http://card-1.ru/

10. Autodesk. URL: https://www.architect-design.ru/autodesk/autocad/

11. Тоpomatic Robur. URL: http://www.topomatic.ru/

12. Credo-Dialog. URL: https://credo-dialogue.ru/

13. Струченков В.И. Использование параболических сплайнов в САПР линейных сооружений. Российский технологический журнал. 2018;6(1):40−52. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2018-6-1-40-52

14. Струченков В.И. Методы оптимизации трасс в САПР линейных сооружений. М.: Солон-Пресс; 2015. 272 с. ISBN 978-5-91359-139-5

15. Лежнев А.В. Динамическое программирование в экономических задачах. М.: Бином; 2016. 285 c. ISBN 5-94774-344-2

16. Cavagnari G., Marigonda A., Piccoli B. Generalized dynamic programming principle and sparse mean-field control problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2020;481(1):123437. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123437

17. He S., Shin H.-S., Tsourdos A. Computational guidance using sparse Gauss-Hermite quadrature differential dynamic programming. IFAC-PapersOnLine. 2019;52(12):13−18. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2019.11.062

18. Fayaed S.S., Fiyadh S.S., Khai W.J., Ahmed A.N., Afan H.A., Ibrahim R.K. Improving dam and reservoir operation rules using stochastic dynamic programming and artificial neural network integration model. Sustainability. 2019;11(19):5367. https://doi.org/10.3390/su11195367

19. Işik H., Sintunavarat W. An investigation of the common solutions for coupled systems of functional equations arising in dynamic programming. Mathematics. 2019;7(10):977. https://doi.org/10.3390/math7100977

20. Карпов Д.А., Струченков В.И. Динамическое программирование как метод сплайн- аппроксимации в САПР линейных сооружений. Российский технологический журнал. 2019;7(3):77−88. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2019-7-3-77-88

21. Карпов Д.А., Струченков В.И. Методы и алгоритмы решения прикладных задач дискретной оптимизации. M.: Солон-Пресс; 2020. 201 с. ISBN 978-5-91359-399-3

22. Кохендерфер М., Уилер Т. Алгоритмы оптимизации. M.: Вильямс; 2020. 528 с. ISBN 978-5-907144-76-7

23. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации. Компьютерные технологии.СПб.: БХВ-Петербург; 2011. 370 с. ISBN 978-5-9775-0784-4

24. Овчинников В.А. Модели и методы дискретной оптимизации.M.:МГТУ им. Н.Э. Баумана;2019. 278 с. ISBN 978-5-7038-5105-0

25. Струченков В.И. Прикладные задачи оптимизации. M.: Солон-Пресс; 2016. 314 с. ISBN 978-5-91359-191-3

26. Карих Ю.С. Оценка существующих методов проектирования продольного профиля. В сб. трудов ГипродорНИИ. Вып. 17. Повышение экономической эффективности капиталовложений в строительство, ремонт и содержание автомобильных дорог. М.: Издание ГипродорНИИ; 1976. С. 105−112.