Достаточная статистика для параметра распределения Парето

Аннотация

Актуальной является задача оценки параметров распределения Парето, в первую очередь, показателя этого распределения, по заданной выборке. В настоящей статье устанавливается, что для этой оценки достаточно знать значение произведения элементов выборки. Доказано, что это произведение является достаточной статистикой для показателя распределения Парето. На основании метода максимального правдоподобия вычислена оценка показателя степени распределения. Доказано, что эта оценка – смещенная, и обоснована формула, устраняющая смещение. Для произведения элементов выборки, рассматриваемого как случайная величина, найдены функция распределения, плотность вероятности, вычислены математическое ожидание, старшие моменты и дифференциальная энтропия. Построены соответствующие графики. Кроме того, отмечается, что достаточной статистикой является любая функция от этого произведения, в частности, среднее геометрическое. Для среднего геометрического, также рассматриваемого как случайная величина, найдены функция распределения, плотность вероятностей, также вычислены математическое ожидание, старшие моменты и дифференциальная энтропия и построены соответствующие графики. Кроме того, обосновано то, что среднее геометрическое выборки является более удобной достаточной статистикой с практической точки зрения, чем произведение элементов выборки. Также, на основании теоремы Рао – Блекуэлла – Колмогорова построены эффективные оценки параметра распределения Парето. В заключение в качестве примера развитая здесь техника применена к показательному распределению. Для него показано, что в качестве достаточной статистики для оценки неизвестного параметра этого распределения могут быть использованы как сумма, так и среднее арифметическое выборки.