МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛНЫХ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В статье предлагается численный алгоритм построения сплайн-функций Ляпунова для исследования абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. В случае асимптотической устойчивости системы выполнение алгоритма приведет к построению поверхности уровня функции Ляпунова в виде кусочно-гладкой (гладкой, при выполнении дополнительных условий) замкнутой поверхности размерности, равной размерности исходной системы. Показано, что данный алгоритм позволяет существенно улучшить оценки границы устойчивости, получаемые с помощью частотных методов. В отличие от алгоритма построения кусочно-линейных функций Ляпунова, время работы предлагаемого алгоритма построения сплайн-функций Ляпунова не стремится к бесконечности при приближении системы к границе устойчивости. Данное обстоятельство позволяет использовать модифицированный алгоритм для определения устойчивости систем, находящихся близко к границе устойчивости. Приведены оценки точности определения области устойчивости на примере конкретной системы 3-го порядка. Даны рекомендации по выбору начальных условий работы алгоритма.

дифференциальные включения, нелинейные нестационарные системы, абсолютная устойчивость, функции Ляпунова, области устойчивости, сплайн, Безье, полиномы Бернштейна

1. Бердников В.П. Алгоритм определения полных областей устойчивости нестационарных нелинейных систем // Российский технологический журнал. 2017. Т. 5. № 6. С. 55-72.

2. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-73.

3. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.

4. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления III // Автоматика и телемеханика. 1986. № 5. С. 38-49.

5. Chesi G., Garulli A., Tesi A., Vicino A. Homogeneous polynomial forms for robustness analysis of uncertain systems. London: Springer-Verlag, 2009. 198 p.

6. Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. 1995. V. 22. Iss. 4. P. 469-483.

7. Farin G. Triangular Bernstein-Bezier patches // Computer Aided Geometric Design. 1986. V. 3. № 2. P. 83-127.

8. Prautzsch H., Boehm W., Paluszny M. Bezier and B-Spline techniques. Berlin: Springer-Verlag, 2002. 304 p.

9. Farin G. Curves and surfaces for CAGD: A practical guide (5th Edition). San Francisco: Morgan Kaufmann, 2001. 520 p.

10. Sun W., Yuan Y. Optimization theory and methods: Nonlinear programming. New York: Springer, 2010. 687 p.

11. Bonnans J., Gilbert J.C., Lemarechal C., Sagastizabal C.A. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Berlin: Springer, 2006. 490 p.

12. DeRose T.D. Necessary and sufficient conditions for tangent plane continuity of Bezier surfaces // Computer Aided Geometric Design. 1990. № 7. P. 165-179.