Нейронные операторы для гидродинамического моделирования подземных хранилищ газа

Цели. Значительная часть исследований в области глубокого обучения сосредоточена на изучении отображений между конечномерными пространствами. Гидродинамические процессы фильтрации газа в подземных хранилищах, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных (ДУЧП), требуют изучения отображений между функциональными пространствами бесконечной размерности, что отличает данную задачу от традиционных. Одним из перспективных подходов является построение нейронных операторов – обобщение нейронных сетей для аппроксимации отображений между функциональными пространствами. Цель работы – создание нейронного оператора для ускорения расчетов гидродинамического моделирования подземных хранилищ газа (ПХГ) при допустимых потерях точности.

Методы. В работе построен и обучен модифицированный нейронный оператор Фурье для гидродинамического моделирования процессов фильтрации газа в ПХГ.

Результаты. Показано, что данный метод может быть успешно применен для задач трехмерной фильтрации газа в декартовой системе координат на объектах с множеством скважин. Разработанная модель обеспечивает высокое качество при моделировании объектов с неравномерной сеткой дискретизации и сложной геометрией, несмотря на использование в архитектуре алгоритма быстрого преобразования Фурье. При этом нейронному оператору не требуется большой размер обучающей выборки для достижения высокой точности аппроксимации решений ДУЧП, что демонстрируется не только на тестовой выборке, но и на искусственно сгенерированных сценариях с внесением существенных изменений в структуру моделируемого объекта. Обученный нейронный оператор осуществляет моделирование заданного сценария за доли секунды, что, по меньшей мере, в 106 раз быстрее, чем традиционный численный симулятор.

Выводы. Построенный и обученный нейронный оператор показал хорошую эффективность в задаче гидродинамического моделирования ПХГ. Полученный алгоритм воспроизводит адекватные решения даже в случае существенных изменений в моделируемом объекте, которых не было в процессе обучения. Все это делает возможным применение данной модели в задачах планирования и принятия решений в отношении различных аспектов эксплуатации ПХГ, таких как оптимальное использование скважин, контроль давления и управление запасами газа.

1. LeCun Y., Bengio Y., Hinton G. Deep learning. Nature. 2015;521(7553):436–444. https://doi.org/10.1038/nature14539

2. Goodfellow I., Bengio Y., Courville A. Deep Learning. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press; 2016. 775 p.

3. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London, New York: Applied Science Publ.; 1979. 497 p.

4. Cybenko G. Approximation by superpositions of a sigmoidal function. Math. Control Signals Syst. 1989;2:303–314. https://doi.org/10.1007/BF02551274

5. Hornik K., Stinchcombe M., White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators. Neural Netw. 1989;2(5):359–366. https://doi.org/10.1016/0893-6080(89)90020-8

6. Chen T., Chen H. Approximations of continuous functionals by neural networks with application to dynamic systems. IEEE Trans. Neural Netw. 1993;4(6):910–918. https://doi.org/10.1109/72.286886

7. Chen T., Chen H. Approximation capability to functions of several variables, nonlinear functionals, and operators by radial basis function neural networks. IEEE Trans. Neural Netw. 1995;6(4):904–910. https://doi.org/10.1109/72.392252

8. Chen T., Chen H. Universal approximation to nonlinear operators by neural networks with arbitrary activation functions and its application to dynamical systems. IEEE Trans. Neural Netw. 1995;6(4):911–917. https://doi.org/10.1109/72.392253

9. Yarotsky D. Error bounds for approximations with deep ReLU networks. Neural Netw. 2017;94:103–114. https://doi.org/10.1016/j.neunet.2017.07.002

10. Jin P., Lu L., Tang Y., et al. Quantifying the generalization error in deep learning in terms of data distribution and neural network smoothness. Neural Netw. 2020;130:85–99. https://doi.org/10.1016/j.neunet.2020.06.024

11. Jakubovitz D., Giryes R., Rodrigues M.R.D. Generalization Error in Deep Learning. Epub ahead of print 2018. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1808.01174

12. Bellman R. Dynamic Programming. Princeton: Princeton University Press; 2010. 392 p.

13. Han J., Jentzen A., Weinan E. Solving high-dimensional partial differential equations using deep learning. Proc. Natl. Acad. Sci. 2018;115(34):8505–8510. https://doi.org/10.1073/pnas.1718942115

14. Guo X., Li W., Iorio F. Convolutional Neural Networks for Steady Flow Approximation. In: Proceedings of the 22nd ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining. San Francisco California USA: ACM; 2016. P. 481–490. https://doi.org/10.1145/2939672.2939738

15. Tang M., Liu Y., Durlofsky L.J. A deep-learning-based surrogate model for data assimilation in dynamic subsurface flow problems. J. Comput. Phys. 2020;413(1):109456. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2020.109456

16. Zhong Z., Sun A.Y., Jeong H. Predicting CO2 Plume Migration in Heterogeneous Formations Using Conditional Deep Convolutional Generative Adversarial Network. Water Resour. Res. 2019;55(7):5830–5851. https://doi.org/10.1029/2018WR024592

17. Berg J., Nyström K. A unified deep artificial neural network approach to partial differential equations in complex geometries. Epub ahead of print 2017. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1711.06464, Related DOI: https://doi.org/10.1016/j.neucom.2018.06.056

18. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics Informed Deep Learning (Part I): Data-driven Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations. Epub ahead of print 2017. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1711.10561

19. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. J. Comput. Phys. 2019;378:686–707. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045

20. Baydin A.G., Pearlmutter B.A., Radul A.A., et al. Automatic differentiation in machine learning: a survey. Epub ahead of print 2015. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1502.05767

21. Lu L., Jin P., Pang G., Zhang Z., Karniadakis G.E. Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators. Nat. Mach. Intell. 2021;3(3):218–229. https://doi.org/10.1038/s42256-021-00302-5

22. Li Z., Kovachki N., Azizzadenesheli K., et al. Neural Operator: Graph Kernel Network for Partial Differential Equations. Epub ahead of print 2020. https://doi.org/10.48550/ARXIV.2003.03485

23. Kovachki N., Li Z., Liu B., et al. Neural Operator: Learning Maps Between Function Spaces. Epub ahead of print 2021. https://doi.org/10.48550/ARXIV.2108.08481

24. Ertekin T., Abou-Kassem J.H., King G.R. Basic Applied Reservoir Simulation. Richardson, Tex.: Society of Petroleum Engineers; 2001. 406 p.

25. Li Z., Kovachki N., Azizzadenesheli K., et al. Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations. Epub ahead of print 2020. https://doi.org/10.48550/ARXIV.2010.08895

26. Lanthaler S., Molinaro R., Hadorn P., et al. Nonlinear Reconstruction for Operator Learning of PDEs with Discontinuities. Epub ahead of print 2022. https://doi.org/10.48550/ARXIV.2210.01074