В статье рассматриваются математические модели и алгоритмы оптимизации, используемые при проектировании продольного профиля новых и реконструируемых автомобильных дорог и других линейных сооружений транспорта. В качестве базового представления искомой проектной линии продольного профиля проектируемой трассы принят параболический сплайн, то есть плоская кривая, элементами которой являются параболы второй степени. Параметры этих элементов должны удовлетворять техническим ограничениям, которые формализуются в виде системы линейных неравенств. Искомый сплайн является экстремалью некоторого функционала, который получается при формализации таких технико-экономических критериев оптимальности, как объeмы земляных работ и строительные затраты. Принципиальной особенностью рассматриваемой задачи оптимизации является отсутствие сведений о числе элементов искомого сплайна. В этой связи предлагается многоэтапный подход: сначала определить число элементов, а затем оптимизировать их параметры. Число элементов определяется по результатам работы программ, проектирующих ломаную линию, состоящую из элементов малой длины, с соблюдением всех технических ограничений. Число этапов оптимизации параметров при известном числе элементов сплайна зависит от конкретной задачи, принятого критерия оптимальности, а также полноты и детальности исходных данных. Рассматриваются алгоритмы динамического и нелинейного программирования, особенности их реализации и результаты применения разработанных компьютерных программ.
The article continues studying the problem of the calculus of variations that occurs in line structures routing, in particular, roads. The task is to find a line that satisfies all technical constraints and gives a minimum of a given functional, for example, construction costs. The unknown extremal is a parabolic spline, that is, a plane curve, the elements of which are parabolas of the second order conjugated by line segments. The principal feature of the problem is that the number of spline elements is unknown. The spline parameters must satisfy the constraints on the first derivative and curvature. Besides, also the ordinates of the individual points may be restricted. In addition, the lengths of the spline elements must be at least the given values. The problem is solved in two stages. First, the number of elements is determined, and then their parameters are optimized. Algorithms of nonlinear and dynamic programming are used. The structural features of the constraint system are taken into account, and an algorithm for constructing a basis in the null space of the matrix of active constraints is given. As an alternative, an algorithm is implemented that uses penalty functions for violation of constraints on ordinates of given points. The successful implementation of algorithms is reported.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.