mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2017-5-6-55-72mireabulletin-95Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGАЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛНЫХ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМALGORITHM OF DETERMINATION OF NON-STATIONARY NONLINEAR SYSTEMS FULL STABILITY AREASБердниковВ. П.BerdnikovV. P.berdnikov_vp@mail.ruМосковский технологический университет (МИРЭА)РоссияMoscow Technological University (MIREA)Russian Federation201728122017565572Copyright © Бердников В.П., 20172017Бердников В.П.Berdnikov V.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/95

В статье предлагается численный алгоритм построения кусочно-линейных функций Ляпунова для исследования абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. Такие функции определяют необходимые и достаточные условия устойчивости нелинейных нестационарных систем, удовлетворяющих секторным ограничениям. В случае асимптотической устойчивости системы выполнение алгоритма приведет к построению поверхности функции Ляпунова в виде многогранника размерности, равной размерности исходной системы. Такой многогранник может быть использован для построения кусочно-линейной функции Ляпунова. Количество граней многогранника возрастает по мере приближения системы к границе устойчивости в пространстве параметров, что может приводить к неприемлемым временным затратам на вычисления. В качестве примеров приводятся анализ конкретных систем 2-го и 3-го порядка и результаты сравнения с классическими методами. Даны конкретные рекомендации по выбору начальных условий работы алгоритма.

The paper proposes a numerical algorithm for constructing piecewise linear Lyapunov functions for investigating the absolute stability of nonlinear nonstationary systems. Such functions define necessary and sufficient conditions for the stability of nonlinear nonstationary systems satisfying sector constraints. In the case of asymptotic stability of the system, the implementation of the algorithm will lead to the construction of the Lyapunov function level set in the form of a polyhedron of dimension equal to the dimension of the original system. Such a polyhedron can be used for constructing a piecewise linear Lyapunov function. The number of faces of the polyhedron increases as the system approaches to the stability boundary in the parameter space, which can lead to unacceptable time costs for calculations. The analysis of specific systems of the 2nd and 3rd order and the results of comparison with classical methods are given. Specific recommendations on the algorithm initial conditions choice are given.

дифференциальные включениянелинейные нестационарные системыабсолютная устойчивостьфункции Ляпуноваобласти устойчивостиполитопрадиус кривизныdifferential inclusionsnonlinear nonstationary systemsabsolute stabilityLyapunov functionsstability areaspolytoperadius of curvatureReferencesБарабанов А.Т., Катковник В.Я., Нелепин Р.А., Хлыпало Е.И., Якубович В.А. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Р.А. Нелепина. М.: Наука, 1975. 448 с.Barabanov A.T., Katkovnik V.Ya., Nelepin R.A., Hlypalo E.I., Yakubovich V.A. Methods for investigating nonlinear automatic control systems / Ed. R.A. Nelepin. Moscow: Nauka Publ., 1975. 448 p. (in Russ.).Якубович В.А. Абсолютная неустойчивость нелинейных систем управления. II. Системы с нестационарными нелинейностями. Круговой критерий // Автоматика и телемеханика. 1971. № 6. С. 25-34.Yakubovich V.A. Absolute instability of nonlinear control systems. II. Systems with nonstationary nonlinearities. Circle criteria // Avtomatica i telemehanica. (Automation and Remote Control). 1971. № 6. P. 25–34. (in Russ.).Каменецкий В.А. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с несколькими нелинейными нестационарными элементами // Автоматика и телемеханика. 1983. № 12. С. 20-30.Kameneckij V.A. Absolute stability and absolute instability of control systems with several nonlinear nonstationary elements // Avtomatica i telemehanica. (Automation and Remote Control). 1983. № 12. P. 20–30. (in Russ.).Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-73.Molchanov A.P., Pyatnickij E.S. Lyapunov functions that determine necessary and sufficient conditions for absolute stability of nonlinear time-varying control systems. I // Avtomatica i telemehanica. (Automation and Remote Control). 1986. № 3. P. 63–73. (in Russ.).Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.Molchanov A.P., Pyatnickij E.S. Lyapunov functions that determine necessary and sufficient conditions for absolute stability of nonlinear time-varying control systems. II // Avtomatica i telemehanica. (Automation and Remote Control). 1986. № 4. P. 5–15. (in Russ.).Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления III // Автоматика и телемеханика. 1986. № 5. С. 38-49.Molchanov A.P., Pyatnickij E.S. Lyapunov functions that determine necessary and sufficient conditions for absolute stability of nonlinear time-varying control systems. III // Avtomatica i telemehanica. (Automation and Remote Control). 1986. № 5. P. 38–49. (in Russ.).Барабанов Н.Е. Метод вычисления показателя Ляпунова дифференциального включения // Автоматика и телемеханика. 1989. № 4. С. 53-58.Barabanov N.E. The method of calculating the Lyapunov exponent of a differential inclusion // Avtomatica i telemehanica. (Automation and Remote Control). 1989. № 4. P. 53– 58. (in Russ.).Guglielmi N., Laglia L., Protasov V. Polytope Lyapunov functions for stable and for stabilizable LSS // Foundations of Computational Mathematics. 2017. V. 17. № 2. P. 567-523.Guglielmi N., Laglia L., Protasov V. Polytope Lyapunov functions for stable and for stabilizable LSS // Foundations of Computational Mathematics. 2017. V. 17. № 2. P. 567–623.Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981. 344 с.Emelichev V.A., Kovalyov M.M., Kravcov M.K. Polyhedra, graphs, optimization. Moscow: Nauka Publ., 1981. 344 p. (in Russ.).Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. 1995. V. 22. Iss. 4. P. 469-483.Barber C. B., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. 1995. V. 22. Iss. 4. P. 469–483.Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989. 478 с.Preparata F., Shamos M. Computational Geometry: An Introduction. Moscow: Mir Publ., 1989. 478 p. (in Russ.).Циглер Г.М. Теория многогранников. М.: МЦНМО, 2014. 568 с.Cigler G.M. The theory of polyhedra. Moscow: MCNMO Publ., 2014. 568 p. (in Russ.).Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. 192 с.Eryomin I.I., Astafev N.N. Introduction to the theory of linear and convex programming. Moscow: Nauka Publ., 1976. 192 p. (in Russ.).Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987. 160 с.Aminov Yu.A. Differential geometry and topology of curves. Moscow: Nauka Publ., 1987. 160 p. (in Russ.).Макаров И.М., Лохин В.М., Манько С.В., Романов М.П. Интеллектуальные системы автоматического управления / Под ред. Макарова И.М., Лохина В.М. М.: Физматлит, 2001. 576 с.Makarov I.M., Lohin V.M., Manko S.V., Romanov M.P. Intellectual automatic control systems / Ed. I.M. Makarov, V.M. Lohin. Moscow: Fizmatlit Publ., 2001. 576 p. (in Russ.).Баркин А.И. Абсолютная устойчивость систем управления. М.: Либроком, 2012. 176 с.Barkin A.I. Absolute stability of control systems. Moscow: Librokom Publ., 2012. 176 p. (in Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.