mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2024-12-2-77-89mireabulletin-883Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМатематическая модель гравитационного потенциала планеты с учетом приливных деформацийA mathematical model of the gravitational potential of the planet taking into account tidal deformationshttps://orcid.org/0000-0001-5016-5899ШатинаА. В.ShatinaА. V.

Шатина Альбина Викторовна, д.ф.-м.н., доцент, профессор кафедры высшей математики, Институт искусственного интеллекта

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Scopus Author ID 6506958326

Albina V. Shatina, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Department of Higher Mathematics, Institute of Artificial Intelligence

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

shatina_av@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-6878-0184БорецА. С.BoretsA. S.

Борец Александра Сергеевна, аспирант, кафедра высшей математики, Институт искусственного интеллекта

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Scopus Author ID 57221232991

 

Alexandra S. Borets, Postgraduate Student, Department of Higher Mathematics, Institute of Artificial Intelligence

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454 

borec@mirea.ruФГБОУ ВО «МИРЭА – Российский технологический университет»РоссияMIREA – Russian Technological UniversityRussian Federation20241004202412277–89Copyright © Шатина А.В., Борец А.С., 20242024Шатина А.В., Борец А.С.Shatina А.V., Borets A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/883

Цели. В работе исследуется гравитационный потенциал вязкоупругой планеты, совершающей движение в гравитационном поле массивного притягивающего центра (звезды), спутника и еще одной или нескольких планет, движущихся по кеплеровским эллиптическим орбитам относительно притягивающего центра. Отличные от вязкоупругой планеты небесные тела моделируются материальными точками. В рамках линейной модели теории вязкоупругости решается задача нахождения вектора упругого смещения. Традиционно для определения гравитационного поля Земли используется модель твердого тела, а учет приливных деформаций отражается в виде малых поправок к коэффициентам модели геопотенциала. В данной работе для учета приливных эффектов используется модель вязкоупругого шара. Актуальность темы исследования связана с высокоточным прогнозированием движения искусственных спутников Земли, высокоточным измерением гравитационного поля Земли.Методы. Используются асимптотические и аналитические методы, разработанные В.Г. Вильке для механических систем, содержащих вязкоупругие элементы большой жесткости, методы классической механики, математического анализа. Построение графиков выполнено с помощью математического пакета Octave.Результаты. На основе решения квазистатической задачи теории упругости путем вычисления тройных интегралов по шаровой области получена формула для гравитационного потенциала деформируемой планеты, а также вычислен гравитационный потенциал Земли с учетом твердотельных приливных эффектов от Луны, Солнца и Венеры во внешней точке. Построены графики, показывающие зависимость гравитационного потенциала Земли от времени.Выводы. Из полученных теоретических и численных результатов следует, что основной вклад в гравитационный потенциал Земли вносят Луна и Солнце. Влияние других планет Солнечной системы мало. Значение гравитационного потенциала во внешней точке Земли с учетом приливных эффектов зависит как от положения точки в подвижной системе координат, так и от взаимного расположения небесных тел. 

Objectives

Objectives. This paper investigates the gravitational potential of a viscoelastic planet moving in the gravitational field of a massive attracting center (star), a satellite and one or more other planets moving in Keplerian elliptical orbits relative to the attracting center. Celestial bodies other than a viscoelastic planet are modeled by material points. Within the framework of the linear model of the theory of viscoelasticity, the problem of finding the vector of elastic displacement has been resolved. Traditionally, a solid body model is used to determine the Earth’s gravitational field, while tidal deformations are taken into account in the form of small corrections to the coefficients of the geopotential model. In this work, the viscoelastic ball model is used to take into account tidal effects. The relevance of the research topic is associated with high-precision forecasting of the movement of artificial satellites of the Earth, high-precision measurement of the Earth’s gravitational field.Methods. In this study the asymptotic and analytical methods developed by V.G. Vilke are used for mechanical systems containing viscoelastic elements of high rigidity, as well as methods of classical mechanics, mathematical analysis. The graphs were plotted using the Octave mathematical package.Results. After resolving the quasi-static problem of elasticity theory by calculating triple integrals over a spherical area, a formula for the gravitational potential of a deformable planet was obtained. In addition, the gravitational potential of the Earth was also calculated taking into account solid-state tidal effects from the Moon, Sun, and Venus at an external point. Graphs were constructed to show the dependence of the Earth’s gravitational potential on time.

Conclusions

Conclusions. The theoretical and numerical results established herein show that the main contribution to the gravitational potential of the Earth is made by the Moon and the Sun. The influence of other planets in the solar system is small. The value of the gravitational potential at the outer point of the Earth, taking into account tidal effects, depends both on the position of the point in the moving coordinate system and on the relative position of celestial bodies.

гравитационный потенциалвязкоупругая планетаприливыорбитаэлементы орбитыматематическое моделированиеgravitational potentialviscoelastic planettidesorbitorbit elementsmathematical modelingReferencesМолоденский М.С. Избранные труды. Гравитационное поле. Фигура и внутреннее строение Земли. М.: Наука; 2001. 569 с. ISBN 5-02-002331-0Molodenskii M.S Izbrannye trudy. Gravitatsionnoe pole. Figura i vnutrennee stroenie Zemli (Selected Works. Gravitational Field. The Figure and Internal Structure of the Earth). Moscow: Nauka; 2001. 569 p. (in Russ.). ISBN 5-02-002331-0Молоденский С.М. Приливы, нутация и внутреннее строение Земли. М.: Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта; 1984. 215 c.Molodenskii S.M. Prilivy, nutatsiya i vnutrennee stroenie Zemli (Tides, Nutation and the Internal Structure of the Earth). Moscow: Institut fiziki Zemli im. O.Yu. Shmidta; 1984. 215 p. (in Russ.).Efroimsky M., Williams J.G. Tidal torques. Acritical review of some techniques. Celest. Mech. Dyn. Astr. 2009;104(3):257–289. https://doi.org/10.1007/s10569-009-9204-7Efroimsky M., Williams J.G. Tidal torques. A critical review of some techniques. Celest. Mech. Dyn. Astr. 2009;104(3): 257–289. https://doi.org/10.1007/s10569-009-9204-7Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе: пер. с англ. М.: Наука; 1965. 252 с.Darwin G.H. Prilivy i rodstvennye im yavleniya v Solnechnoi sisteme (Tides and Kindred Phenomena in the Solar System): transl. from Engl. Moscow: Nauka; 1965. 252 p. (in Russ.). [Darwin G.H. The Tides and Kindred Phenomena in the Solar System. Boston: Houghton; 1899. 378 p.]Приливы и резонансы в Солнечной системе: сборник статей: пер. с англ. под ред. В.Н. Жаркова. М.: Мир; 1975. 288 с.Zharkov V.N. (Ed.). Prilivy i rezonansy v Solnechnoi sisteme: sbornik statei (Tides and Resonances in the Solar System: a collection of articles). Moscow: Mir; 1975. 288 p. (in Russ.).Petit G., Luzum B. (Eds.). IERS Conventions (2010). IERS Technical Note 36. Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie; 2010. 179 p. ISBN 3-89888-989-6Petit G., Luzum B. (Eds.). IERS Conventions (2010). IERS Technical Note 36. Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie; 2010. 179 p. ISBN 3-89888-989-6Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Прикладная математика и механика. 1980;44(3):395–402.Vil’ke V.G. Motion of a visco-elastic sphere in a central Newtonian force field. J. Appl. Math. Mech. 1981;44:280–284. [Original Russian Text: Vil’ke V.G. Motion of a visco-elastic sphere in a central Newtonian force field. Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 1980;44(3):395–402 (in Russ.).]Makarov V.V., Berghea C., Efroimsky M. Dynamical evolution and spin-orbit resonances of potentially habitable exoplanets. The case of GJ 581d. Astrophys. J. 2012;761(2):83–96. https://doi.org/10.1088/0004-637X/761/2/83Makarov V.V., Berghea C., Efroimsky M. Dynamical evolution and spin-orbit resonances of potentially habitable exoplanets. The case of GJ 581d. Astrophys. J. 2012;761(2):83–96. https://doi.org/10.1088/0004-637X/761/2/83Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.: Физматлит; 2002. 384 с. ISBN 5-9221-0244-3Sidorenkov N.S. Fizika nestabil’nostei vrashcheniya Zemli (Physics of Earth Rotation Instabilities). Moscow: Fizmatlit; 2002. 384 p. (in Russ.). ISBN 5-9221-0244-3Баранова Е.Ю., Вильке В.Г. Вращение упругого шара вокруг центра масс в гравитационном поле двух притягивающих центров. Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2014;3:33–40.Baranova E.Yu., Vil’ke V.G. Rotation of elastic sphere around its center of mass in the gravitational field of two attractive centers. Moscow Univ. Mech. Bulletin. 2014;69(3):57–64. https://doi.org/10.3103/S0027133014030017 [Original Russian Text: Baranova E.Yu., Vil’ke V.G. Rotation of elastic sphere around its center of mass in the gravitational field of two attractive centers. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. 2014;3:33–40 (in Russ.).]Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Рыхлова Л.В., Филиппова А.С. Численно-аналитический подход к моделированию осевого вращения Земли. Астрономический журнал. 2018;95(4):317–326. https://doi.org/10.7868/S0004629918040047Markov Yu.G., Perepelkin V.V., Rykhlova L.V., Filippova A.S. A Numerical-analytical approach to modeling the axial rotation of the Earth. Astron. Rep. 2018;62(4):299–308. https://doi.org/10.1134/S1063772918040042 [Original Russian Text: Markov Yu.G., Perepelkin V.V., Rykhlova L.V., Filippova A.S. Numerical-analytical approach to modeling the axial rotation of the Earth. Astronomicheskii Zhurnal. 2018;95(4):317–326 (in Russ.). https://doi.org/10.7868/S0004629918040047 ]Сидоренков Н.С. Небесно-механические причины изменений погоды и климата. Геофизические процессы и биосфера. 2015;14(3):5–26.Sidorenkov N.S. Celestial-mechanical factors of the weather and climate change. Geofizicheskie protsessy i biosfera = Geophysical Processes and Biosphere. 2015;14(3):5–26 (in Russ.).Sottili G., Martino S., Palladino D.M., Paciello A., Bozzano F. Effects of tidal stresses on volcanic activity at Mount Etna, Italy. Geophys. Res. Lett. 2007;34(1):L01311. https://doi.org/10.1029/2006GL028190Sottili G., Martino S., Palladino D.M., Paciello A., Bozzano F. Effects of tidal stresses on volcanic activity at Mount Etna, Italy. Geophys. Res. Lett. 2007;34(1):L01311. https://doi.org/10.1029/2006GL028190Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука; 1977. 360 с.Aksenov E.P. Teoriya dvizheniya iskusstvennykh sputnikov Zemli (Theory of Motion of Artificial Earth Satellites). Moscow: Nauka; 1977. 360 p. (in Russ.).Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука; 1990. 448 с. ISBN 5-02014090-2Okhotsimskii D.E., Sikharulidze Yu.G. Osnovy mekhaniki kosmicheskogo poleta (Fundamentals of Space Flight Mechanics). Moscow: Nauka; 1990. 448 p. (in Russ.). ISBN 5-02-014090-2Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд. дом Томского гос. ун-та; 2016. 254 с. ISBN 978-5-9462-1607-4Bordovitsyna T.V., Avdyushev V.A. Teoriya dvizheniya iskusstvennykh sputnikov Zemli. Analiticheskie i chislennye metody (Theory of Motion of Artificial Earth Satellites. Analytical and Numerical Methods). Tomsk: TSU; 2016. 254 p. (in Russ.). ISBN 978-5-9462-1607-4Гусев И.В. Оценка влияния приливных эффектов на низкоорбитальные ИСЗ. Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. 2013;57(2):18–24.Gusev I.V. Assessment of tidal effects on low Earth orbit satellites. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Geodeziya i aehrofotosemka = Izvestia VUZOV. Geodesy and Aerophotography. 2013;57(2):18–24 (in Russ.).Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: URSS; 2023. 200 с. ISBN 978-5-9710-3847-4Vil’ke V.G. Analiticheskie i kachestvennye metody mekhaniki sistem s beskonechnym chislom stepenei svobody (Analytical and Qualitative Methods of Mechanics of Systems with an Infinite Number of Degrees of Freedom). Moscow: URSS; 2023. 200 p. (in Russ.). ISBN 978-5-9710-3847-4Borets A.S., Shatina A.V. Gravitational potential of a planet modeled by a visco-elastic sphere. J. Phys.: Conf. Ser. 2020;1705:012001. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1705/1/012001Borets A.S., Shatina A.V. Gravitational potential of a planet modeled by a visco-elastic sphere. J. Phys.: Conf. Ser. 2020;1705:012001. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1705/1/012001Борец А.С., Шатина А.В. Математическая модель гравитационного потенциала планеты с учетом диссипации. Фундаментальные, поисковые, прикладные исследования и инновационные проекты: сборник трудов Национальной научно-практической конференции. M.: РТУ МИРЭА; 2022. С. 132–136.Borets A.S., Shatina A.V. Mathematical model of the gravitational potential of the planet taking into account dissipation. In: Fundamental’nye, poiskovye, prikladnye issledovaniya i innovatsionnye proekty sbornik trudov Natsionalnoi nauchno- prakticheskoi konferentsii = Fundamental, Exploratory, Applied Research and Innovative Projects: Proceedings of the National Scientific and Practical Conference. Moscow: MIREA; 2022. P. 132–136 (in Russ.).Вильке В.Г. Теоретическая механика: учебник и практикум для вузов. М.: Юрайт; 2023. 311 с. ISBN 978-5-5340-3481-3Vil’ke V.G. Teoreticheskaya mekhanika: uchebnik i praktikum dlya vuzov (Theoretical Mechanics: Textbook and Workshop for Universities). Moscow: Yurait; 2023. 311 p. (in Russ.). ISBN 978-5-5340-3481-3Вильке В.Г., Шатина А.В. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника. Космические исследования. 2004;42(1):95–106.Vil’ke V.G., Shatina A.V. Translational–Rotational Motion of a Viscoelastic Sphere in Gravitational Field of an Attracting Center and a Satellite. Cosmic Research. 2004;42(1):91–102. https://doi.org/10.1023/B:COSM.0000017567.89445.aa [Original Russian Text: Vil’ke V.G., Shatina A.V. Translational–Rotational Motion of a Viscoelastic Sphere in Gravitational Field of an Attracting Center and a Satellite. Kosmicheskie Issledovaniya. 2004;42(1):95–106 (in Russ.).]Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы: пер. с англ. М.: Физматлит; 2010. 588 с. ISBN 978-5-9221-1121-8Murray C.D., Dermott S.F. Dinamika Solnechnoi sistemy (Solar System Dynamics). Moscow: Fizmatlit; 2010. 588 p. (in Russ.). ISBN 978-5-9221-1121-8 [Murray C.D., Dermott S.F. Solar System Dynamics. Cambridge University Press; 2000. 592 p. ISBN 9781139174817. http://doi.org/10.1017/cbo9781139174817 ]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.