mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2017-5-5-40-50mireabulletin-85Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕMATHEMATICAL MODELING OF THE INFLUENCE OF RELAXATION PROCESSES ON THE TEMPERATURE FIELD IN AN ELASTIC HALF-SPACEДжемесюкИ. А.DzhemesyukI. A.noemail@neicon.ruГорбуновС. Г.GorbunovS. G.gos-g@bk.ruМосковский технологический университет (Институт тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова)РоссияMoscow Technological University (M.V. Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies)Russian Federation201728102017554050Copyright © Джемесюк И.А., Горбунов С.Г., 20172017Джемесюк И.А., Горбунов С.Г.Dzhemesyuk I.A., Gorbunov S.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/85

В статье рассмотрены дифференциальные уравнения теплопроводности в частных производных параболического типа для бесконечной пластины в области х > l, возникающие в теории теплопроводности для различных режимов нагрева границы. Для нахождения закона распределения температуры по толщине пластины получены точные аналитические решения трех задач теплопроводности со следующими граничными условиями: 1) температура на границе меняется мгновенно, но однократно; 2) температура на границе изменяется плавно с учетом времени релаксации на левой границе; 3) температура на границе мгновенно периодически меняется. Краевые задачи сначала приводили к безразмерному виду, а потом решали операционным методом с помощь интегрального преобразования Лапласа. С помощью полученных аналитических решений построены графики, характеризующие распределение температуры в пластине с учетом процессов релаксации на левой границе.

The article examines the relaxation processes that occur in an elastic solid medium when it is heated and cooled, especially their influence on the temperature field. Besides, we considered in this paper the heat equation of parabolic type arising in the theory of thermal conductivity for different modes of heating the border. We present a solution of the boundary value problem of nonstationary heat conduction for an infinite plate with the following regimes of loading the boundaries: a single slow temperature change at the border, a single instantaneous temperature variation at the border, and, finally, multiple instantaneous changes of temperature at the border. In order to solve these three heat problems, they were brought to a dimensionless form. Then the operational calculus method was applied. The essence of the method consists in the following. According to the obtained analytical solutions three-dimensional graphics characterizing the relaxations processes were built in the computer algebra system Wolfram Mathematica for different ranges of the Fourier criterion.

время релаксацииуравнение теплопроводностиинтегральное преобразование Лапласаrelaxation timemathematical modelingdimensionless variablesintegral Laplace transformReferencesДеч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. M.: Наука, 1971. 288 с.Doetsch G. Guide to the practical application of Laplace transform and Z-transform. M.: Nauka Publ., 1971. 288 p. (in Russ.).Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 176 с.Filippov A.F. Collection of exercises on differential equations. Izhevsk: NIC «Regular and chaotic dynamics», 2000. 176 p. (in Russ.).Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложениям. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1959. 179 с.Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Operational calculus in two variables and its applications. M.: State publishing house of physico-mathematical literature, 1959. 179 p. (in Russ.).Карташов Э.М., Кудинов В.А. Математические модели теплопроводности и термоупругости: 2-ое издание переработанное и дополненное. Самара: Самарский государственный технический университет, 2013. 877 с.Kartashov E.M., Kudinov V.A. Mathematical models of heat conduction and thermoelasticity: 2nd edition revised and expanded. Samara: Samara State Technical University, 2013. 877 р. (in Russ.).Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 228 с.Volkov I.K., Kanatnikov A.N. Integral transforms and operational calculus: Textbook. for high schools / Under the editorship of B.C. Zarubin, A.P. Krishchenko. 2nd ed. M.: MGTU im. N.E. Bauman Publ., 2002. 228 p. (in Russ.).Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). M.: Наука, 1974. 832 с.Korn G., Korn T. Reference book on mathematics (for scientists and engineers). M.: Nauka Publ., 1974. 832 p. (in Russ.).Чертищев В.В., Чертищев В.В. Расчет полей температур и тепловых потоков в неподвижной среде методом конечных элементов // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2011. № 1-2 (69). С.176-180.Chertishev V.V., Chertishev V.V. Calculation of the temperature fields and heat fluxes in a stationary environment by finite element method // Izvestiya of Altai State University. 2011. № 1-2 (69). Р. 176-180. (in Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.