Хрычев Дмитрий Аркадьевич, к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики Института искусственного интеллекта Scopus Author ID 6507535823
119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78
Dmitry A. Khrychev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor, Higher Mathematics Department, Institute of Artificial Intelligence Scopus Author ID 6507535823
78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454
Цели. Целью работы является изучение свойств определителя Вронского системы решений линейного однородного дифференциального уравнения в случае, когда число решений меньше порядка уравнения, и сравнение их с известными свойствами такого же определителя, но в случае равенства числа решений порядку уравнения.
Методы. В работе использованы методы линейной алгебры и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также математического и комплексного анализа.
Результаты. Показано, что обращение в нуль рассматриваемого определителя на сколь угодно малом интервале влечет за собой обращение его в нуль на всей области определения, а решения при этом оказываются линейно зависимыми. В трех случаях: 1) если коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями, 2) если число решений равно единице и 3) если число решений на единицу меньше порядка уравнения – получен более сильный результат. Именно, если множество нулей рассматриваемого определителя Вронского имеет предельную точку, принадлежащую области определения решений, то определитель тождественно равен нулю и решения линейно зависимы.
Выводы. Полученные результаты означают, что определитель Вронского системы решений линейного однородного уравнения в ситуации, когда число решений меньше порядка уравнения, служит индикатором линейной зависимости или независимости этой системы: решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского тождественно равен нулю. При этом нет необходимости проверять обращение определителя в нуль на всей области определения, достаточно сделать это на произвольно выбранном интервале или даже (в перечисленных выше частных случаях) на произвольно выбранном множестве, имеющем предельную точку.
Objectives. The work sets out to study the properties of the Wrońskian determinant of the system of solutions to a linear homogeneous equation in cases when the number of solutions is less than the order of the equation, comparing them with the known properties of the same determinant when the number of solutions is equal to the order of the equation.
Methods. The work uses the methods of linear algebra according to the theory of ordinary differential equations, as well as mathematical and complex analysis.
Results. It is shown that the vanishing of a considered determinant on an arbitrarily small interval implies its vanishing on the entire domain of definition; the solutions turn out to be linearly dependent. A stronger result is obtained in three cases: (1) if the coefficients of the equation are analytic functions; (2) if the number of solutions is equal to one; (3) if the number of solutions is one less than the order of the equation. Namely, if the set of zeros of the considered Wrońskian has a limit point belonging to the domain of definition of solutions, then the determinant is identically equal to zero and the solutions are linearly dependent.
Conclusions. According to the obtained results, the Wrońskian of a system of solutions of a linear homogeneous equation can serve as an indicator of the linear dependence or independence of this system in cases where the number of solutions is lower than the order of the equation; here, the solutions are linearly dependent if and only if their Wrońskian is identically equal to zero. In this case, there is no need to check whether the determinant vanishes over the entire domain of definition, since it is sufficient to do this on an arbitrarily chosen interval or even (in the special cases listed above) on an arbitrarily chosen set having a limit point.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.