mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2023-11-2-92-99mireabulletin-659Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGИдентификация продольного надреза стержня по собственным частотам колебанийIdentification of a longitudinal notch of a rod by natural vibration frequencieshttps://orcid.org/0000-0002-2342-0492УтяшевИ. М.UtyashevI. M.

Утяшев Ильнур Мирзович, к.ф.-м.н., научный сотрудник, Институт механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук; доцент кафедры математики, Башкирский государственный аграрный университет

Scopus Author ID 56966700200, ResearсherID J-1064-2018

450054, Республика Башкортостан, Уфа, пр. Октября, д. 71; 450001, Республика Башкортостан, Уфа, ул. 50-летия Октября, д. 34

 

Ilnur M. Utyashev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Researcher, Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Federal Research Center, Russian Academy of Sciences ; Assistant Professor, Department of Mathematics, Bashkir State Agrarian University

Scopus Author ID 56966700200, ResearсherID J-1064-2018

71, Oktyabrya pr., Ufa, Republic of Bashkortostan, 450054; 34, 50-Letiya Oktyabrya ul., Ufa, Republic of Bashkortostan, 450001

utyashevim@mail.ruФатхелисламовА. Ф.FatkhelislamovA. F.

Фатхелисламов Альфир Фирдависович, старший преподаватель кафедры управления информационной безопасностью

450076, Республика Башкортостан, Уфа, ул. Заки Валиди, д. 32

Alfir F. Fatkhelislamov, Senior Lecturer, Department of Information Security Management,

32, Zaki Validi ul., Ufa, Republic of Bashkortostan, 450076 

alfir93@mail.ruИнститут механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук; Башкирский государственный аграрный университетРоссияMavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Federal Research Center, Russian Academy of Sciences; Bashkir State Agrarian UniversityRussian FederationУфимский университет науки и технологийРоссияUfa University of Science and TechnologyRussian Federation2023090420231129299Copyright © Утяшев И.М., Фатхелисламов А.Ф., 20232023Утяшев И.М., Фатхелисламов А.Ф.Utyashev I.M., Fatkhelislamov A.F.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/659Цели

Цели. Цели работы: рассмотреть прямую и обратную задачу о колебании прямоугольного стержня с продольным надрезом; исследовать закономерности поведения собственных частот и собственных форм продольных колебаний при изменении места и размера надреза; разработать метод, позволяющий однозначно идентифицировать параметры продольного надреза с помощью собственных частот продольных колебаний стержня.

Методы

Методы. Стержень с продольным надрезом моделируется как два стержня, где первый не имеет надреза, а второй – имеет. Для соединения используются условия сопряжения, в которых приравниваются продольные колебания и деформации. Решение обратной задачи основано на построении частотного уравнения в предположении, что искомые параметры входят в уравнение. При подстановке собственных частот в это уравнение получим нелинейную систему относительно неизвестных параметров. Решение последнего есть искомые параметры надреза.

Результаты

Результаты. Приведены таблицы собственных частот и графики собственных форм для разных параметров надреза. Получены и проанализированы результаты для различных краевых условий. Представлен метод идентификации параметров надреза по конечному числу собственных частот. Показано, что обратная задача имеет два решения, симметричных относительно центра стержня. Для однозначного решения требуются собственные частоты той же задачи с другими граничными условиями на правом конце. Добавление дополнительных условий на концах стержня позволило решить обратную задачу с новыми краевыми условиями, дающими возможность построить точное решение и разработать алгоритм проверки однозначности решения.

Выводы

Выводы. Разработанный метод позволяет решить задачу идентификации геометрических параметров различных деталей и конструкций, моделируемых стержнями.

Objectives

Objectives. To study the direct and inverse problem of vibrations of a rectangular rod having a longitudinal notch, to analyze regularities of the behavior of natural frequencies and natural forms of longitudinal vibrations when changing the location and size of the notch, and to develop a method for uniquely identifying the parameters of the longitudinal notch using the natural frequencies of longitudinal vibrations of the rod.

Methods

Methods. The rod with a longitudinal notch is modeled as two rods, where the first one does not have a notch, while the second one does. For connection, conjugation conditions are used, in which longitudinal vibrations and deformations are equated. The solution of the inverse problem is based on the construction of a frequency equation under the assumption that the desired parameters are included in the equation. Substituting natural frequencies into this equation, the nonlinear system with respect to unknown parameters is derived. The solution of the latter is the desired notch parameters.

Results

Results. Tables of eigenfrequencies and graphs of eigenforms are given for different notch parameters. The results for different boundary conditions are obtained and analyzed. A method for identifying notch parameters by a finite number of eigenfrequencies is presented. The inverse problem is shown to have two solutions, which are symmetrical about the center of the rod. The unambiguous solution requires eigenfrequencies of the same problem with different boundary conditions at the right end. By adding additional conditions at the ends of the rod, the inverse problem can be solved with new boundary conditions to construct the exact solution and develop an algorithm for checking the uniqueness of the solution.

Conclusions

Conclusions. The developed method can be used to solve the problem of identification of geometric parameters of various parts and structures modeled by rods.

продольные колебаниясобственная частотасобственная формастерженьзадача идентификациипрямая задачаобратная задачазадача Штурма – Лиувилляграничные условияlongitudinal vibrationsnatural frequencyeigenformrodidentification problemdirect probleminverse problemSturm–Liouville problemboundary conditionsReferencesШакирзянов Р.А., Шакирзянов Ф.Р. Динамика и устойчивость сооружений: учебное пособие. М.: Ай Пи Ар Медиа; 2022. 119 c. ISBN 978-5-4497-1379-7Shakirzyanov R.A., Shakirzyanov F.R. Dinamika i ustoichivost’ sooruzhenii: uchebnoe posobie (Dynamics and stability of structures: textbook). Moscow: IPR Media; 2022. 119 p. (in Russ.). ISBN 978-5-44971379-7Ахтямов А.М., Ильгамов М.А. Модель изгиба балки с надрезом: прямая и обратная задачи. Прикладная механика и техническая физика. 2013;54(1):152–162.Akhtyamov A.M., Il’gamov M.A. Flexural model for a notched beam: Direct and inverse problems. J. Appl. Mech. Tech. Phy. 2013;54(1):132–141. https://doi.org/10.1134/S0021894413010161 [Original Russian Text: Akhtyamov A.M., Il’gamov M.A. Flexural model for a notched beam: Direct and inverse problems. Prikladnaya Mekhanika i Tekhnicheskaya Fizika. 2013;54(1):132–141 (in Russ.).]Rice J.R., Levy N. The part through surface crack in an elastic plate. J. Appl. Mech. 1972;39(1):185–194. https://doi.org/10.1115/1.3422609Rice J.R., Levy N. The part through surface crack in an elastic plate. J. Appl. Mech. 1972;39(1):185–194. https://doi.org/10.1115/1.3422609Freund L.B., Herrmann G. Dynamic fracture of a beam or plate in plane bending. J. Appl. Mech. 1976;43(1): 112–116. https://doi.org/10.1115/1.3423760Freund L.B., Herrmann G. Dynamic fracture of a beam or plate in plane bending. J. Appl. Mech. 1976;43(1): 112–116. https://doi.org/10.1115/1.3423760Narkis Y. Identification of crack location in vibrating simply-supported beames. J. Sound Vib. 1994;172(4): 549–558. https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.1195Narkis Y. Identification of crack location in vibrating simply-supported beames. J. Sound Vib. 1994;172(4): 549–558. https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.1195Ватульян А.О., Осипов А.В. Поперечные колебания балки с локализованными неоднородностями. Вестник Донского государственного технического университета. 2012;12(8):34–40.Vatul’yan A.O., Osipov A.V. Transverse vibrations of beam with localized heterogeneities. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta = Vestnik of Don State Technical University (Advanced Engineering Research). 2012;12(8):34–40 (in Russ.).Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом. Дефектоскопия. 2009;6:83–89.Il’gamov M.A., Khakimov A.G. Diagnosis of damage of a cantilever beam with a notch. Russ. J. Nondestruct. Test. 2009;45(6):430–435. https://doi.org/10.1134/S1061830909060072 [Original Russian Text: Ilgamov M.A., Khakimov A.G. Diagnosis of damage of a cantilever beam with a notch. Defektoskopiya. 2009;45(6):83–89 (in Russ.).]Ильгамов М.А. Продольные колебания стержня с зарождающимися поперечными трещинами. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2017;1:23–31.Il’gamov M.A. Longitudinal vibrations of a bar with incipient transverse cracks. Mech. Solids. 2017;52(1): 18–24. https://doi.org/10.3103/S0025654417010034 [Original Russian Text: Il’gamov M.A. Longitudinal vibrations of a bar with incipient transverse cracks. Izvestiya Akademii Nauk. Mekhanika Tverdogo Tela. 2017;1:23–31 (in Russ.).]Утяшев И.М. Продольные колебания стержня с переменным сечением. Многофазные системы. 2019;14(2):138–141. https://doi.org/10.21662/mfs2019.2.019Utyashev I.M. Longitudinal oscillation of a rod with a variable cross section Mnogofaznye sistemy = Multiphase Systems. 2019;14(2):138–141 (in Russ.). https://doi.org/10.21662/mfs2019.2.019Акуленко Л.Д., Байдулов В.Г., Георгиевский Д.В., Нестеров С.В. Эволюция собственных частот продольных колебаний стержня при увеличении дефекта поперечного сечения. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2017;6:136–144.Akulenko L.D., Baidulov V.G., Georgievskii D.V., Nesterov S.V. Evolution of natural frequencies of longitudinal vibrations of a bar as its cross-section defect increases. Mech. Solids. 2017;52(6):708–714. https://doi.org/10.3103/S0025654417060103 [Original Russian Text: Akulenko L.D., Baidulov V.G., Georgievskii D.V., Nesterov S.V. Evolution of natural frequencies of longitudinal vibrations of a bar as its cross-section defect increases. Izvestiya Akademii Nauk. Mekhanika Tverdogo Tela. 2017;6:136–144 (in Russ.).]Болотин В.В. (ред.). Вибрации в технике: справочник в 6 т. Т. 1. Колебания линейных систем. М.: Машиностроение; 1978. 352 с.Bolotin V.V. (Ed.). Vibratsii v tekhnike: Spravochnik v 6 t. T. 1. Kolebaniya lineinykh system (Vibrations in Technology: in 6 v. V. 1. Oscillations of Linear Systems). Moscow: Mashinostroenie; 1978. 352 p. (in Russ.).Narkis Y. Identification of crack location in vibrating simply-supported beames. J. Sound Vib. 1994;172(2): 549–558. https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.1195Narkis Y. Identification of crack location in vibrating simply-supported beames. J. Sound Vib. 1994;172(2): 549–558. https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.1195Ахтямов А.М., Фатхелисламов А.Ф. Идентификация местоположения надреза стержня по собственной частоте. Доклады Башкирского университета. 2017;2(2):204-208.Akhtyamov A.M., Fatkhelislamov A.F. Identification of location of a cut of the rod on natural frequency. Doklady Bashkirskogo Universiteta 2017;2(2):204–208 (in Russ.)Акуленко Л.Д., Гавриков А.А., Нестеров С.В. Идентификация дефектов поперечного сечения стержня по собственным частотам и особенностям формы продольных колебаний. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2019;6:98–107. https://doi.org/10.1134/S0572329919060023Akulenko L.D., Gavrikov A.A., Nesterov S.V. Identification of cross-section defects of the rod by using eigenfrequencies and features of the shape of longitudinal oscillations. Mech. Solids. 2019;54(8): 1208–1215. https://doi.org/10.3103/S0025654419080119 [Original Russian Text: Akulenko L.D., Gavrikov A.A., Nesterov S.V. Identification of cross-section defects of the rod by using eigenfrequencies and features of the shape of longitudinal oscillations. Izvestiya Akademii Nauk. Mekhanika Tverdogo Tela. 2019;6:98–107 (in Russ.).]Попов А.Л., Садовский С.А. О соответствии теоретических моделей продольных колебаний стержня экспериментальным данным. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021;8(2):270–281. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.207Popov A.L., Sadovsky S.A. Correspondence of theoretical models of longitudinal rod vibrations to experimental data. Vestnik St. Peterb. Univ. Math. 2021;54(2):162–170. https://doi.org/10.1134/S1063454121020114 [PopovA.L., Sadovsky S.A. Correspondence of theoretical models of longitudinal rod vibrations to experimental data. Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Astronomiya. 2021;54(2):270–281 (in Russ.). https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.207]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.