Пулькин Игорь Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Института искусственного интеллекта
119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78
Igor S. Pulkin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor, Higher Mathematics Department, Institute of Artificial Intelligence
78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454
Татаринцев Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и программирования Института перспективных технологий и индустриального программирования
Scopus Author ID 57221996001, 7004076246
119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78
Andrey V. Tatarintsev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor, Department of Higher Mathematics and Programming, Institute of Advanced Technologies and Industrial Programming
Scopus Author ID 57221996001, 7004076246
78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454
Цели. Рассмотрена задача оценки альтернатив на основе результатов экспертных парных сравнений. Важность и актуальность этой задачи обусловлены ее многочисленными применениями в самых разных областях – как в технических и естественных, так и в гуманитарных, от строительства до политики. Ставится задача вычисления вектора объективных рейтингов на основе экспертных оценок. В математической формулировке задача нахождения вектора объективных рейтингов сводится к аппроксимации матриц парных сравнений согласованными матрицами.
Методы. Используются аналитические методы анализа и высшей алгебры. Для некоторых частных случаев приведены результаты численных расчетов.
Результаты. В работе доказана теорема, утверждающая, что согласованная матрица, наилучшим образом аппроксимирующая заданную обратно-симметрическую матрицу в лог-евклидовой метрике, всегда существует и единственна. Кроме того, выведены формулы для вычисления такой согласованной матрицы. Для малых размерностей рассматриваются примеры, позволяющие сравнить результаты, полученные по выведенной формуле, с результатами для других известных способов нахождения согласованной матрицы – для вычисления собственного вектора и для минимизации невязки в лог-чебышевской метрике. Доказано, что в размерности 3 все эти способы приводят к одному и тому же результату, а уже в размерности 4 все результаты различны.
Выводы. Полученные в статье результаты позволяют вычислять вектор объективных рейтингов по данным экспертной оценки. Этот метод может быть использован в стратегическом планировании в тех случаях, когда выводы и рекомендации возможны только на основании экспертных суждений.
Objectives. An analysis of the problem of evaluating alternatives based on the results of expert paired comparisons is presented. The importance and relevance of this task is due to its numerous applications in a variety of fields, whether in the technical and natural sciences or in the humanities, ranging from construction to politics. In such contexts, the problem frequently arises concerning how to calculate an objective ratings vector based on expert evaluations. In terms of a mathematical formulation, the problem of finding the vector of objective ratings can be reduced to approximating the matrices of paired comparisons by consistent matrices.
Methods. Analytical analysis and higher algebra methods are used. For some special cases, the results of numerical calculations are given.
Results. The theorem stating that there is always a unique and consistent matrix that optimally approximates a given inversely symmetric matrix in a log-Euclidean metric is proven. In addition, derived formulas for calculating such a consistent matrix are presented. For small dimensions, examples are considered that allow the results obtained according to the derived formula to be compared with results for other known methods of finding a consistent matrix, i.e., for calculating the eigenvector and minimizing the discrepancy in the log-Chebyshev metric. It is proven that all these methods lead to the same result in dimension 3, while in dimension 4 all results are already different.
Conclusions. The results obtained in the paper allow us to calculate the vector of objective ratings based on expert evaluation data. This method can be used in strategic planning in cases where conclusions and recommendations are possible only on the basis of expert evaluations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.