Самохин Александр Борисович - д.ф.-м.н., профессор, Заслуженный деятель науки РФ, профессор кафедры «Прикладная математика» Института информационных технологий
119454, Россия, Москва, пр-т Вернадского, д. 78
Scopus Author ID 7005200099, SPIN-код РИНЦ 6302-0596
Alexander B. Samokhin - Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Applied Mathematics Department, Institute of Information Technology
78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454
Scopus Author ID 7005200099, RSCI SPIN-code 6302-0596
Цели. Интегральные уравнения давно и широко используются в математической физике для доказательства теорем существования и единственности решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Однако, несмотря на то что интегральные уравнения имеют ряд преимуществ по сравнению с соответствующими краевыми задачами – все краевые условия присутствуют в ядрах уравнений, они практически не использовались для численного решения задач. Это связано с тем, что при дискретизации интегральных уравнений возникают системы уравнений с плотными матрицами, в отличие от разреженных матриц в случае дифференциальных уравнений. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники и методов вычислительной математики, интегральные уравнения начали использоваться при численном решении конкретных задач. В работе предложены два метода численного решения двухмерных и трехмерных интегральных уравнений, описывающих многие важные классы задач математической физики.Методы. Для дискретизации интегральных уравнений использовался метод коллокации на неравномерной и равномерной сетках. Для численного решения получившихся систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) используются итерационные методы. Для случая равномерной сетки построен эффективный метод умножения матрицы СЛАУ на вектор.Результаты. Построены соответствующие СЛАУ, описывающие рассматриваемые классы задач. Для решения систем уравнений, полученных с использованием равномерной сетки, предложены эффективные алгоритмы решения, использующие быстрое дискретное преобразование Фурье.Выводы. СЛАУ с использованием неравномерной сетки имеют преимущество, связанное с хорошим описанием областей сложной конфигурации, но при этом есть существенные ограничения на размерность СЛАУ. При использовании равномерной сетки размерность СЛАУ может быть на несколько порядков больше, однако в этом случае могут возникать трудности с описанием сложной конфигурации области. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и имеющихся вычислительных ресурсов. Для многих двухмерных задач может быть предпочтительнее СЛАУ на неравномерной сетке, а для трехмерных задач – предпочтительнее СЛАУ на равномерной сетке
Objectives. Integral equations have long been used in mathematical physics to demonstrate existence and uniqueness theorems for solving boundary value problems for differential equations. However, despite integral equations have a number of advantages in comparison with corresponding boundary value problems where boundary conditions are present in the kernels of equations, they are rarely used for obtaining numerical solutions of problems due to the presence of equations with dense matrices that arise that when discretizing integral equations, as opposed to sparse matrices in the case of differential equations. Recently, due to the development of computer technology and methods of computational mathematics, integral equations have been used for the numerical solution of specific problems. In the present work, two methods for numerical solution of two-dimensional and three-dimensional integral equations are proposed for describing several significant classes of problems in mathematical physics.Methods. The method of collocation on non-uniform and uniform grids is used to discretize integral equations. To obtain a numerical solution of the resulting systems of linear algebraic equations (SLAEs), iterative methods are used. In the case of a uniform grid, an efficient method for multiplying the SLAE matrix by vector is created.Results. Corresponding SLAEs describing the considered classes of problems are set up. Efficient solution algorithms using fast Fourier transforms are proposed for solving systems of equations obtained using a uniform grid.Conclusions. While SLAEs using a non-uniform grid can be used to describe complex domain configurations, there are significant constraints on the dimensionality of described systems. When using a uniform grid, the dimensionality of SLAEs can be several orders of magnitude higher; however, in this case, it may be difficult to describe the complex configuration of the domain. Selection of the particular method depends on the specific problem and available computational resources. Thus, SLAEs on a non-uniform grid may be preferable for many two-dimensional problems, while systems on a uniform grid may be preferable for three-dimensional problems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.