Карташов Эдуард Михайлович, д.ф.-м.н., заслуженный деятель науки РФ, Почетный работник высшего профессионального образования РФ, Почетный работник науки и техники РФ, почетный профессор МИТХТ им. М.В. Ломоносова, Лауреат Золотой медали АН Беларуси по теплофизике, профессор кафедры высшей и прикладной математики Института тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова ФГБОУ ВО «МИРЭА – Российский технологический университет» Scopus Author ID 7004134344, ResearcherID Q-9572-2016
119571, Россия, Москва, пр-т Вернадского, д. 86
Eduard M. Kartashov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Honored Scientist of the Russian Federation, Honorary Worker of Higher Professional Education of the Russian Federation, Honorary Worker of Science and Technology of the Russian Federation, Honorary Professor of the Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical Technology, Laureate of the Golden Medal of the Academy of Sciences of Belarus in Thermophysics, Professor, Department of Higher and Applied Mathematics, M.V. Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies, MIREA – Russian Technological University Scopus Author ID 7004134344, ResearcherID Q-9572-2016
119571, Moscow, Vernadskogo pr., 86
Цели. В последние годы усилился интерес к изучению локально-неравновесных процессов в связи с развитием лазерных технологий, возможностью получения сверхвысоких температур и давлений, а также ввиду необходимости математического описания различных физических процессов в экстремальных условиях. При моделировании локально-неравновесных процессов возникает необходимость учета внутренней структуры исследуемых объектов, что приводит к существенному усложнению классических моделей переноса. Важным этапом в развитии указанной области является построение математических моделей разнообразных физических полей с учетом их пространственно-временной нелокальности. Для этих целей используются уравнения гиперболического типа для широкого класса явлений и, прежде всего, для процессов нестационарной теплопроводности на основе обобщенной феноменологии Максвелла – Каттанео – Лыкова – Вернотта. Математические модели в виде краевых задач для уравнений гиперболического типа носят название краевых задач обобщенного типа. Эти задачи значительно отличаются от классических на основе феноменологии Фурье по сложности их решения. Их специфика заключается в относительной простоте исходных математических моделей и трудности решения в аналитически замкнутом виде. Отсюда весьма незначительные успехи в нахождении точных аналитических решений такого рода задач. Наиболее приемлемый метод их решения – операционный, но он приводит к аналитическим решениям в пространстве изображений по Лапласу в виде сложных функциональных конструкций, оригиналы которых не содержатся в известных справочниках по операционному исчислению. На этом пути возникают серьезные трудности вычислительного характера.Цель работы – рассмотреть серию нестандартных изображений, возникающих при операционном решении математических моделей локально-неравновесного теплообмена и получить их оригиналы. Методы. Использованы методы и теоремы операционного исчисления, методы контурного интегрирования сложных изображений, теория специальных функций.Результаты. Представлено развитие операционного исчисления для математических моделей локально-неравновесного теплопереноса в терминах теории нестационарной теплопроводности для уравнений гиперболического типа (волновых уравнений). Рассмотрены нестандартные операционные изображения, оригиналы которых ранее были неизвестны. Показано, что приведенные изображения являются характерными для операционных решений широкого класса обобщенных краевых задач для уравнений гиперболического типа в теории теплопроводности, диффузии, гидродинамики, колебаний, распространения электричества, термомеханики и других направлений науки и техники. Изучены частично ограниченные и конечные области. Приведены иллюстративные примеры в качестве численных экспериментов локально-неравновесного процесса теплообмена с учетом конечной скорости распространения теплоты, имеющей волновой характер. Последнее выражается наличием ступенчатой функции Хевисайда в аналитическом решении задачи. Обоснован физический смысл конечной скорости распространения теплоты; построена изохрона для температурной функции в частично ограниченной области и показано, что на поверхности фронта идущей волны температурный профиль имеет разрыв. Это приводит к задержанию оттока теплоты за границу разрыва – характерная особенность аналитических решений волновых уравнений, к которой следует добавить возможность описания аналитического решения задачи в виде эквивалентных интегральных соотношений, существенно упрощающих числовые расчеты.Выводы. Представлены оригиналы нестандартных операционных изображений (по Лапласу), входящие в операционные решения широкого класса задач локально-неравновесных процессов переноса (теплоты, массы, импульса), электрических цепей, гидродинамики, теории колебаний, термомеханики и других областей. Приведены иллюстративные примеры и показана возможность перехода от одной формы аналитического решения к другой эквивалентной форме. Представленные аналитические решения гиперболических моделей теплопереноса в областях канонического типа являются новыми в классической теплофизике.
Objectives. Recently, interest in studying local nonequilibrium processes has increased in the context of the development of laser technologies, the possibility of reaching ultrahigh temperatures and pressures, and the need for a mathematical description of various physical processes under extreme conditions. In simulating local nonequilibrium processes, it becomes necessary to take into account the internal structure of investigation subjects, which significantly complicates the classical transport models. An important stage here is to construct mathematical models of various physical fields in which their spatiotemporal nonlocality should be taken into account. For these purposes, hyperbolic equations are used for a wide class of phenomena and, first of all, for unsteady-state heat conduction processes based on the generalized Maxwell–Cattaneo–Luikov–Vernotte phenomenology. Mathematical models in the form of boundary value problems for hyperbolic equations are called generalized boundary value problems. These problems differ significantly in solving difficulty from the classical ones based on Fourier phenomenology. The specificity of these problems is the relative simplicity of the initial mathematical models, together with the difficulty of solving them in an analytically closed form. Hence, very little success has been achieved in finding exact analytical solutions to problems of this kind. The most acceptable approach to solving them is operational calculus. However, it gives analytical solutions in the Laplace transform space as complex functional structures, the inverse transforms of which are not available in well-known reference books on operational calculus. On this path, serious computational difficulties arise. The study aimed to analyze a set of nonstandard transforms arising from the operational solution of mathematical models of local nonequilibrium heat transfer and to obtain their inverse transforms.Methods. Methods and theorems of operational calculus, methods of contour integration of complex transforms, and the theory of special functions were used.Results. Operational calculus was developed for mathematical models of local nonequilibrium heat transfer in terms of the theory of unsteady-state heat conduction for hyperbolic equations (wave equations). Nonstandard operational transforms, the inverse transforms of which are unavailable in the literature, were considered. It was shown that the presented transforms are common to operational solutions of a wide class of generalized boundary value problems for hyperbolic equations in the theory of heat conduction, diffusion, hydrodynamics, vibrations, propagation of electricity, thermomechanics, and other areas of science and technology. Partially bounded and finite domains were explored. Illustrative examples were given, namely, the results of numerical experimental studies of a local nonequilibrium heat transfer process that took into account the finiteness of the heat transfer rate, which had a wave character. The latter was expressed by the presence of the Heaviside step function in the analytical solution of the problem. The physical meaning of the finiteness of the heat transfer rate was substantiated. The isochron was constructed for the temperature function in a partially bounded domain. It was shown that the temperature profile has a discontinuity on the surface of the propagating wave front. This leads to the retention of heat outflow beyond the discontinuity boundary. This is a characteristic feature of the analytical solutions of the wave equations, along with the possibility to describe the analytical solution of the problem as equivalent integral relations, which noticeably simplify numerical calculations.Conclusions. The inverse transforms of nonstandard operational (Laplace) transforms were presented, which are contained in the operational solutions of a wide class of problems of local nonequilibrium (heat, mass, momentum) transfer processes, electrical circuits, hydrodynamics, oscillation theory, thermomechanics, and others. Illustrative examples were given, and the possibility of transition from one form of an analytical solution to another equivalent form was shown. The presented analytical solutions of hyperbolic heat transfer models in canonical domains are new in classical thermal physics.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.