mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2021-9-5-84-94mireabulletin-370Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGЭволюция вращательного движения вязкоупругой планеты с ядром на эллиптической орбитеEvolution of the rotational motion of a viscoelastic planet with a core on an elliptical orbithttps://orcid.org/0000-0001-5016-5899ШатинаА. В.ShatinaA. A.

Шатина Альбина Викторовна,д.ф.-м.н., доцент, профессор, кафедра высшей математики Института кибернетики

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78 

Albina V. Shatina,Dr. Sci. (Phys.-Math.), Docent, Professor, Department of Higher Mathematics, Institute of Cybernetics

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454 

shatina_av@mail.ruСтаростинаА. В.StarostinaA. V.

Старостина Анастасия Валерьевна, аспирант, старший преподаватель, кафедра высшей математики Института кибернетики

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78 

Anastasia V. Starostina,Graduate Student, Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Institute of Cybernetics

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454 

«МИРЭА – Российский технологический университет»РоссияMIREA – Russian Technological UniversityRussian Federation202125102021958494Copyright © Шатина А.В., Старостина А.В., 20212021Шатина А.В., Старостина А.В.Shatina A.A., Starostina A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/370

Работа посвящена исследованию эволюции вращательного движения планеты в центральном ньютоновском поле сил. Планета моделируется телом, состоящим из твердого ядра и жестко прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки. Рассматривается ограниченная постановка задачи, когда центр масс планеты движется по заданной кеплеровской эллиптической орбите. Уравнения движения выводятся в форме системы уравнений Рауса с использованием канонических переменных Андуайе, которые в невозмущенной зада-че являются переменными «действие-угол» и имеют вид интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Используется методика, разработанная Вильке В.Г. для механических систем с бесконечным числом степеней свободы. Методом разделения движений получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая вращательное движение планеты с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Методом усреднения получена эволюционная система уравнений относительно переменных «действие» и медленных угловых переменных. Построен фазовый портрет, описывающий взаимное изменение модуля вектора кинетического момента G вращательного движения и косинуса угла между этим вектором и нормалью к плоскости орбиты центра масс планеты. Найдено стационарное решение эволюционной системы уравнений, которое является асимптотически устойчивым. Показано, что в стационарном движении вектор кинетического момента G ортогонален плоскости орбиты, а предельное значение модуля этого век-тора зависит от эксцентриситета эллиптической орбиты. Построенная математическая модель может быть использована для изучения приливной эволюции вращательного движения планет и спутников. Полученные в работе результаты согласуются с результатами ранее проведенных исследований в этой области. 

The work is devoted to the study of the evolution of the rotational motion of a planet in the central Newtonian field of forces. The planet is modeled by a body consisting of a solid core and a viscoelastic shell rigidly attached to it. A limited formulation of the problem is considered, when the center of mass of the planet moves along a given Keplerian elliptical orbit. The equations of motion are derived in the form of a system of Routh equations using the canonical Andoyer variables, which are “action-angle” variables in the unperturbed problem and have the form of integro-differential equations with partial derivatives. The technique developed by V.G. Vilke is used for mechanical systems with an infinite number of degrees of freedom. A system of ordinary differential equations is obtained by the method of separation of motions. The system describes the rotational motion of the planet taking into account the perturbations caused by elasticity and dissipation. An evolutionary system of equations for the “action” variables and slow angular variables is obtained by the averaging method. A phase portrait is constructed that describes the mutual change in the modulus of the angular momentum vector G of the rotational motion and the cosine of the angle between this vector and the normal to the orbital plane of the planet’s center of mass. A stationary solution of the evolutionary system of equations is found, which is asymptotically stable. It is shown that in stationary motion, the angular momentum vector G is orthogonal to the orbital plane, and the limiting value of the modulus of this vector depends on the eccentricity of the elliptical orbit. The constructed mathematical model can be used to study the tidal evolution of the rotational motion of planets and satellites. The results obtained in this work are consistent with the results of previous studies in this area.

вязкоупругое телокеплеровская эллиптическая орбитапеременные Андуайеметод усреднениядиссипативная эволюция движенияметод усредненияviscoelastic bodyKeplerian elliptic orbitAndoyer variablesaveraging methoddissipative evolution of motionReferencesEfroimsky M., Williams J.G. Tidal torques. A critical review of some techniques. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2009;104:257−289. https://doi.org/10.1007/s10569-009-9204-7Efroimsky M., Williams J.G. Tidal torques. A critical review of some techniques. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2009;104:257−289. https://doi.org/10.1007/s10569-009-9204-7Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ; 1975. 308 c.Beletskii V.V. Dvizhenie sputnika otnositel’no tsentra mass v gravitatsionnom pole (Satellite motion relative to the center of mass in a gravitational field). Moscow: Izdatel’stvo MGU; 1975. 308 p. (in Russ.).Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Изд-во ЛКИ; 2009. 432 с. ISBN 978-5-382-00982-7Beletskii V.V. Ocherki o dvizhenii kosmicheskikh tel(Essays on the motion of cosmic bodies). Moscow: Izdatel’stvo LKI; 2009. 432 p. (in Russ.). ISBN 978-5-382-00982-7Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы: в 2-х ч. М.: Изд-во МГУ. Мех.-мат. фак.; 1997. Ч. 1. 216 с., Ч. 2. 160 с.Vil’ke V.G. Analiticheskaya mekhanika sistem s beskonechnym chislom stepenei svobody: v 2-kh ch.(Analytical mechanics of systems with an infinite number of degrees of freedom: in 2 v.). Moscow: Izdatel’stvo MGU, mekhaniko-matematicheskii fakul’tet; 1997. V. 1. 216 p., V. 2. 160 p. (in Russ.).Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Прикладная математика и механика. 1985;49(1):25−34.Vil’ke V.G., Kopylov S.A., Markov Yu.G. Evolution of the rotational motion of a viscoelastic sphere in a central Newtonian field force field. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1985;49(1):24−30. https://doi.org/10.1016/0021-8928(85)90122-4 [Vil’ke V.G., Kopylov S.A., Markov Yu.G. Evolution of the rotational motion of a viscoelastic sphere in a central Newtonian field force field. Prikladnaya matematika i mekhanika= Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1985;49(1):25−34 (in Russ.).]Шатина А.В. Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Космические исследования. 2001;39(3):303−315.Shatina A.V. Evolution of the motion of a viscoelastic sphere in a central Newtonian field. Cosmic Research. 2001;39(3):282−294. https://doi.org/10.1023/A:1017585722391 [Shatina A.V. Evolution of the motion of a viscoelastic sphere in a central Newtonian field. Kosmicheskie issledovaniya = Cosmic Research. 2001;39(3):303−315 (in Russ.).]Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Эволюция движений твердого тела относительно центра масс. М.; Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований; 2015. 308 с.Chernous’ko F.L., Akulenko L.D., Leshchenko D.D. Evolyutsiya dvizhenii tverdogo tela otnositel’no tsentra mass (Evolution of motion of a rigid body relative to the center of mass). Moscow; Izhevsk: Izhevskii institut komp’yuternykh issledovanii; 2015. 308 p. (in Russ.).Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами. Прикладная математика и механика. 1978;42(1):34−42.Chernous’ko F.L. On the motion of solid body with elastic and dissipative elements. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1978;42(1):32−41. https://doi.org/10.1016/0021-8928(78)90086-2 [Chernous’ko F.L. On the motion of solid body with elastic and dissipative elements. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1978;42(1):34−42 (in Russ.).]Сидоренко В.В. Об эволюции движения механической системы с линейным демпфером большой жесткости. Прикладная математика и механика. 1995;59(4):562−568.Sidorenko V.V. The dynamic evolution of a mechanical system with a very rigid linear damper. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1995;59(4):533−539. https://doi.org/10.1016/0021-8928(95)00062-3 [Sidorenko V.V. The dynamic evolution of a mechanical system with a very rigid linear damper. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1995;59(4):562−568 (in Russ.).]Frouard J., Efroimsky M. Precession relaxation of viscoelastic oblate rotation. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2018;473(1):728−746. https://doi.org/10.1093/mnras/stx2328Frouard J., Efroimsky M. Precession relaxation of viscoelastic oblate rotation. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2018;473(1):728−746. https://doi.org/10.1093/mnras/stx2328Haus E., Bambusi D. Asymptotic Behavior of an Elastic Satellite with Internal Friction. Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2015;18(1): Article No. 14. https://doi.org/10.1007/s11040-015-9184-7Haus E., Bambusi D. Asymptotic Behavior of an Elastic Satellite with Internal Friction. Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2015;18(1): Article No. 14. https://doi.org/10.1007/s11040-015-9184-7Вильке В.Г. Механика систем материальных точек и твердых тел. М.: Физматлит; 2013. 268 с. ISBN 978-5-9221-1481-3Vil’ke V.G. Mekhanika sistem material’nykh tochek i tverdykh tel (Mechanics of systems of material points and solids). Moscow: Fizmatlit; 2013. 268 p. (in Russ.). ISBN 978-5-9221-1481-3Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат; 1942. 304 с.Leibenzon L.S. Kratkii kurs teorii uprugosti (A Short Course of the Elasticity Theory). Moscow – Leningrad: Gostekhizdat; 1942. 304 p. (in Russ.).Шатина А.В., Шерстнев Е.В. Движение спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты с ядром. Космические исследования. 2015;53(2):173–180.Shatina A.V., Sherstnyov E.V. Satellite motion in the gravitational field of a viscoelastic planet with a core. Cosmic Research. 2015;53(2):163−170. https://doi.org/10.1134/S0010952515020082 [Shatina A.V., Sherstnyov E.V. Satellite motion in the gravitational field of a viscoelastic planet with a core. Kosmicheskie issledovaniya = Cosmic Research. 2015;53(2):173–180 (in Russ.).]Садовникова Е.В., Шатина А.В. Эволюция вращательного движения спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на эллиптической орбите. Российский технологический журнал. 2018;6(4):89−104. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2018-6-4-89-104Sadovnikova E.V., Shatina A.V. Evolution of the rotational movement satellite with flexible viscoelastic rods on the elliptic orbit. Rossiiskii tekhnologicheskii zhurnal = Russian Technological Journal. 2018;6(4):89−104 (in Russ.). https://doi.org/10.32362/2500-316X-2018-6-4-89-104

The authors declare that there are no conflicts of interest present.