mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2026-14-5-94-105QXBHCRmireabulletin-1666Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGРазработка и оценка точности математических моделей нагруженных узлов и деталей в машиностроении с применением параметрической идентификацииMathematical modeling in the development of complex objects in mechanical engineeringhttps://orcid.org/0000-0002-3334-7890ЛутьяновА. В.LutyanovA. V.

Александр Владимирович Лутьянов, к. т. н., доцент

Институт перспективных технологий и индустриального программирования; кафедра цифровых и аддитивных технологий

119454; пр. Вернадского, д. 78; Москва

Scopus Author ID 57406852900, ResearcherID PLC-5909-2026

Alexandr V. Lutyanov, Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor

Institute for Advanced Technologies and Industrial Programming; Department of Digital and Additive Technologies

119454; 78, Vernadskogo pr.; Moscow

Scopus Author ID 57406852900, ResearcherID PLC-5909-2026

lutyanov@mirea.ruhttps://orcid.org/0000-0001-9556-9213КраскоА. С.KraskoA. S.

Александр Сергеевич Краско, к. т. н., доцент

Институт перспективных технологий и индустриального программирования; кафедра цифровых и аддитивных технологий

119454; пр. Вернадского, д. 78; Москва

Scopus Author ID 57204283028, ResearcherID ABF-2790-2020

Alexandr S. Krasko, Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor

Institute for Advanced Technologies and Industrial Programming; Department of Digital and Additive Technologies

119454; 78, Vernadskogo pr.; Moscow

Scopus Author ID 57204283028, ResearcherID ABF-2790-2020

krasko@mirea.ruhttps://orcid.org/0009-0008-3194-5724БарановаН. С.BaranovaN. S.

Наталья Сергеевна Баранова, к. т. н., доцент

Институт перспективных технологий и индустриального программирования; кафедра цифровых и аддитивных технологий

119454; пр. Вернадского, д. 78; Москва

Scopus Author ID 57204288324, ResearcherID PLS-4118-2026

Natalia S. Baranova, Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor

Institute for Advanced Technologies and Industrial Programming; Department of Digital and Additive Technologies

119454; 78, Vernadskogo pr.; Moscow

Scopus Author ID 57204288324, ResearcherID PLS-4118-2026

baranova@mirea.ruМИРЭА – Российский технологический университетРоссияMIREA – Russian Technological UniversityRussian Federation20260810202614594105Copyright © Лутьянов А.В., Краско А.С., Баранова Н.С., 20262026Лутьянов А.В., Краско А.С., Баранова Н.С.Lutyanov A.V., Krasko A.S., Baranova N.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1666   Цели

   Цели. Статья посвящена применению математического моделирования в процессе разработки сложных узлов и деталей в машиностроении. Подчеркивается значимость прогнозирования поведения узлов в процессе эксплуатации и корпусных деталей в процессе обработки на этапах проектирования.

   Особое внимание уделяется трудностям, возникающим вследствие многофакторности, неопределенности и нелинейности исследуемых объектов, а также высоким требованиям к надежности создаваемых изделий.

   Цели настоящей работы

   Цели настоящей работы: анализ роли математического моделирования при разработке сложных объектов (узлов и деталей); оценка преимуществ, предоставляемых современными методами компьютерного расчета инженерных решений; разработка вариационного подхода для оценки жесткости узлов и устойчивости деталей при их обработке.

   Методы

   Методы. Рассматриваются основные методы математического моделирования, применяемые на разных стадиях разработки. Среди используемых подходов предложено обратить особое внимание на конечно-элементный анализ, позволяющий детально исследовать механические напряжения конструкционных элементов при изготовлении и обработке сложных деталей. Для анализа особенностей формирования математических моделей сложных узлов использованы аналитические методики. Метод параметрической идентификации позволяет определить механические характеристики сложных деталей.

   Результаты

   Результаты. Обосновывается необходимость интеграции компьютерных технологий и экспериментальных исследований для повышения эффективности процессов проектирования и изготовления продукции машиностроения. Описаны основные этапы и подходы к созданию математических моделей сложных объектов, приведеныпримеры успешного внедрения методов численного анализа и вычислительной механики при создании деталей. В ходе проведенных экспериментов установлено, что применяемые современные теории моделирования сложных объектов демонстрируют высокий уровень адекватности моделей.

   Выводы

   Выводы. Установлено, что метод параметрической идентификации позволяет рассмотреть критические нагрузки несущих элементов сложных узлов. Метод может применяться при проектировании высоконагруженных деталей, где необходимо обеспечить высокий уровень жесткости и устойчивости при обработке.

   Objectives

   Objectives. This paper considers the role of mathematical modeling in the development of complex assemblies and components in mechanical engineering, especially in terms of predicting the operational behavior of assemblies, as well as that of housing components during machining at the design stage.

   Particular attention is paid to the difficulties arising from the multifactorial nature, uncertainty, and nonlinearity of the objects under study, as well as the high reliability requirements of the products being manufactured.

   The development of a variational approach for assessing the rigidity of assemblies and the stability of components during machining is presented.

   Methods

   Methods. Among the mathematical modeling approaches used at various stages of development, particular attention is paid to finite element analysis, which allows for a detailed study of the mechanical stresses experienced by structural elements during the manufacture and machining of complex components. Analytical techniques are employed to analyze the specific features of forming mathematical models of complex assemblies. The parametric identification method is used to determine the mechanical characteristics of complex components.

   Results

   Results. The need to integrate computer technologies and experimental research to improve the efficiency of mechanical engineering design and manufacturing processes is substantiated. The key stages and approaches to creating mathematical models of complex objects are outlined on examples of the successful implementation of numerical analysis and computational mechanics methods in component manufacturing. Experiments revealed that the current theories for modeling complex objects demonstrate a high level of model adequacy.

   Conclusions

   Conclusions. The parametric identification method is shown to be suitable for analyzing critical loads on load-bearing components of complex assemblies and in the design of highly loaded components that require high rigidity and stability during machining.

математическое моделированиепроектированиепрочностьнадежностьоптимизацияцифровая средаCAD/CAM/CAE-системыmathematical modelingdesignstrengthreliabilityoptimizationdigital environmentCAD/CAM/CAE systemsАвторы не имеют финансовой заинтересованности в представленных материалах или методахThe authors have no financial or proprietary interest in any material or method mentionedReferencesВоган У. Цифровое моделирование: пер. с англ. М.: ДМК Пресс; 2022, 430 с. ISBN 978-5-97060-991-0Vaughan W. Digital modeling: transl. from Engl. Moscow: DMK Press; 2022, 430 p. (In Russ.). ISBN 978-5-97060-991-0 [Vaughan W. Digital modeling. New Riders Pub; 2012, 410 p. ISBN 978-0321700896]Dér A., Kaluza A., Reimer L., Herrmann C., Thieds S. Integration of Energy Oriented Manufacturing Simulation into the Life Cycle Evaluation of Lightweight Body Parts. Int. J. Precis. Eng. and Manuf.-Green Tech. 2022;9(3):899–918. doi: 10.1007/s40684-021-00412-wDér A., Kaluza A., Reimer L., Herrmann C., Thieds S. Integration of Energy Oriented Manufacturing Simulation into the Life Cycle Evaluation of Lightweight Body Parts. Int. J. Precis. Eng. and Manuf.-Green Tech. 2022;9(3):899–918. doi: 10.1007/s40684-021-00412-wChaim O., Muschard B., Cazarini E., Razenfeld H. Insertion of sustainability performance indicators in an industry 4.0 virtual learning environment. Procedia Manufacturing. 2018;21:446–453. doi: 10.1016/j.promfg.2018.02.143Chaim O., Muschard B., Cazarini E., Razenfeld H. Insertion of sustainability performance indicators in an industry 4.0 virtual learning environment. Procedia Manufacturing. 2018;21:446–453. doi: 10.1016/j.promfg.2018.02.143Лутьянов А.В., Кислова А.В. Реверс-инжиниринг для проектирования технологических процессов. Сборка в машиностроении, приборостроении. 2026;27(1):36–42.Lutyanov A.V., Kislova A.V. Reverse Engineering for Technological Processes. Sborka v mashinostroenii, priborostroenii = Assembling in Mechanical Engineering and Instrument-Making. 2026;27(1):36–42 (in Russ.).Мышечкин А.А., Лутьянов А.В., Кравченко И.Н., Белоусов И.В., Лим А.А., Шумило Е.А. Исследование влияния технологических параметров и режимов FDM-технологий на свойства изделий. Технология металлов. 2022;1:29–35. https://elibrary.ru/nutmlzMyshechkin A.A., Lutyanov A.V., Kravchenko I.N., Belousov I.V., Lim A.A., Shumilo E.A. Influence study of technological parameters and modes of FDM-technology on product properties. Tekhnologiya Metallov. 2022;1:29–35 (in Russ.). https://elibrary.ru/nutmlzLogan D.L. A First Course in the Finite Element Method. Cengage Learning; 2016, 992 p. ISBN 9781305887176Logan D.L. A First Course in the Finite Element Method. Cengage Learning; 2016, 992 p. ISBN 9781305887176Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. 7<sup>th</sup> ed. Butterworth-Heinemann; 2013, 672 p. ISBN 9780080951362Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. 7<sup>th</sup> ed. Butterworth-Heinemann; 2013, 672 p. ISBN 9780080951362Wang J., Ma Y., Zhang L., Gao R.X., Wu D. Deep Learning for Smart Manufacturing: Methods and Applications. J. Manufacturing Syst. 2018;48(Part C):144–156. doi: 10.1016/j.jmsy.2018.01.003Wang J., Ma Y., Zhang L., Gao R.X., Wu D. Deep Learning for Smart Manufacturing: Methods and Applications. J. Manufacturing Syst. 2018;48(Part C):144–156. doi: 10.1016/j.jmsy.2018.01.003Лутьянов А.В., Кухарев Д.А. Развитие систем автоматизированного проектирования для повышения точности изготовления сложных деталей. Технология машиностроения. 2024;10:31–38. https://www.elibrary.ru/krxnxqLutyanov A.V., Kukharev D.A. Development of computer-aided design systems to improve the manufacturing accuracy of complex parts. Tekhnologiya Mashinostroeniya. 2024;10:31–38 (in Russ.). https://www.elibrary.ru/krxnxqГоршков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука; 1995, 350 с. ISBN 5-02-014700-1Gorshkov A.G., Tarlakovskii D.V. Dinamicheskie kontaktnye zadachi s podvizhnymi granitsami (Dynamic Contact Problems with Moving Boundaries). Moscow: Nauka; 1995, 350 p. (In Russ.). ISBN 5-02-014700-1Лутьянов А.В. Особенности электронной модели детали для разработки технологического процесса. Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2024;11:44–47. https://www.elibrary.ru/deghhqLutyanov A.V. Features of an Electronic Model of the Part for the Development of the Technological Process. Kuznechno-shtampovochnoe proizvodstvo. Obrabotka materialov davleniem = Forging and Stamping Production. Material Working by Pressure. 2024;11:44–47 (in Russ.). https://www.elibrary.ru/deghhqКраснобаев Т.А., Афанасьев М.А. Исследование функциональных возможностей программного комплекса ANSYS WORKBENCH для решения задач по расчету напряженно-деформированного состояния металлоконструкций. В сб.: VIII Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, приуроченная к празднованию 300-летия Российской академии наук : сборник материалов конференции. Омск, 2024. С. 537–541. https://elibrary.ru/iqhvhtKrasnobaev T.A., Afanasyev M.A. Study of the Functional Capabilities of the Ansys Workbench Software Package for Solving Problems of Calculating the Stress-Strain State of Metal Structures. In: Proceedings of the 8<sup>th</sup> International Scientific and Practical Conference of Students, Postgraduates, and Young Scientists, Dedicated to the Celebration of the 300<sup>th</sup> Anniversary of the Russian Academy of Sciences. Omsk, 2024. P. 537–541 (in Russ.). https://elibrary.ru/iqhvhtНикулин Е.А. Компьютерная графика. Модели и алгоритмы. СПб.: Лань; 2026, 708 с. ISBN 978-5-507-51336-9Nikulin E.A. Komp’yuternaya grafika. Modeli i algoritmy (Computer Graphics. Models and Algorithms). St. Petersburg: Lan; 2026, 708 p. (in Russ.). ISBN 978-5-507-51336-9Исроилов Ш.Н., Чориев Э.Э. Моделирование напряженно-деформированного состояния. Universum: технические науки. 2021;7(88). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/12065. Дата обращения 17. 08. 2026.Isroilov Sh.N., Choriev E.E. Modeling of the stress-strain state. Universum: technical sciences. 2021;7(88) (in Russ.). Available from URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/12065. Accessed August 17, 2026.Смердов Ан.А., Смердов Ал.А. Строительная механика композитных конструкций ракетно-космической техники. Курс лекций. М.: МГТУ им. Баумана, 2021, 162 с. ISBN 978-5-7038-5618-5. URL: https://e.lanbook.com/book/461027. Дата обращения 17. 08. 2026.Smerdov An.A., Smerdov Al.A. Stroitel’naya mekhanika kompozitnykh konstruktsii raketno-kosmicheskoi tekhniki. Kurs lektsii (Structural Mechanics of Composite Structures of Rocket and Space Technology. Lecture Course). Moscow: Bauman Press; 2021, 162 p. (in Russ.). ISBN 978-5-7038-5618-5. Available from URL: https://e.lanbook.com/book/461027. Accessed August 17, 2026.Hibbeler R.C. Engineering Mechanics: Dynamics. 14th ed. Pearson; 2016, 760 p. ISBN 9780133915389. URL: https://books.google.ru/books?id=8OfYrQEACAAJ&redir_esc=y. Дата обращения 17. 08. 2026.Hibbeler R.C. Engineering Mechanics: Dynamics. 14<sup>th</sup> ed. Pearson; 2016, 760 p. ISBN 9780133915389. Available from URL: https://books.google.ru/books?id=8OfYrQEACAAJ&redir_esc=y. Accessed August 17, 2026.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.