mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2026-14-4-21-35ENTOLEmireabulletin-1613Research ArticleИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. ИНФОРМАТИКА. ПРОБЛЕМЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИINFORMATION SYSTEMS. COMPUTER SCIENCES. ISSUES OF INFORMATION SECURITYОценивание риска перегрузки вычислительного узла в Kubernetes на основе уравнения Фоккера Планка и задачи первого достижения критической границыEstimating the overload risk of a Kubernetes node based on the Fokker–Planck equation and the first-to-critical-bound problemhttps://orcid.org/0000-0002-6641-1609ЛеськоС. А.LeskoS. A.

Лесько Сергей Александрович, д.т.н., доцент, профессор кафедры «Информационно-аналитические системы кибербезопасности», Институт кибербезопасности и цифровых технологий

Scopus Author ID 57189664364, ResearcherID AAF-5651-2019 

119454,  Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Sergey A. Lesko, Dr. Sci. (Eng.), Associate Professor, Professor, Department of Information and Analytical Cybersecurity Systems, Institute of Cybersecurity and Digital Technologies

Scopus Author ID 57189664364, ResearcherID AAF-5651-2019

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454 

lesko@mirea.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1365-4639КалининВ. Н.KalininV. N.

Калинин Владимир Николаевич, ассистент, кафедра телекоммуникаций, Институт радиоэлектроники и информатики

Scopus Author ID 57562579000

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Vladimir N. Kalinin, Assistant, Department of Telecommunications, Institute of Radioelectronics and Informatics

Scopus Author ID 57562579000

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

kalinin_v@mirea.ruhttps://orcid.org/0000-0002-1211-5214ЖуковД. О.ZhukovD. O.

Жуков Дмитрий Олегович, д.т.н., профессор, профессор кафедры телекоммуникаций, Институт радиоэлектроники и информатики

Scopus Author ID 57189660218

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Dmitry O. Zhukov, Dr. Sci. (Eng.), Professor, Department of Telecommunications, Institute of Radioelectronics and Informatics

Scopus Author ID 57189660218

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

zhukov_do@mirea.ruМИРЭА Российский технологический университетРоссияMIREA Russian Technological UniversityRussian Federation2026080820261442135Copyright © Лесько С.А., Калинин В.Н., Жуков Д.О., 20262026Лесько С.А., Калинин В.Н., Жуков Д.О.Lesko S.A., Kalinin V.N., Zhukov D.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1613Цели

Цели. В контейнерных вычислительных инфраструктурах размещение нагрузки опирается на статические параметры запрашиваемые ресурсы (requests) и предельные ресурсы (limits), тогда как фактическое потребление ресурсов носит стохастический характер с редкими, но существенными пиковыми выбросами, что ведет к избыточному резервированию или риску перегрузки. Существующие подходы ориентированы на детерминированные критерии выбора узла или точечный прогноз нагрузки и не дают прямой вероятностной оценки достижения критического состояния. Цель работы построение вероятностной модели риска перегрузки вычислительного узла Kubernetes[1] , формализующей событие перегрузки как первое достижение критической границы стохастическим процессом загрузки узла.

Методы

Методы. Нормированная загрузка узла описывается как одномерный стохастический процесс, эволюция плотности вероятности задается уравнением Фоккера Планка (Fokker–Planck, FP). Для краевой задачи получено аналитическое решение при постоянных коэффициентах и смешанных граничных условиях Робина Дирихле. Для переменных коэффициентов, оцениваемых по телеметрии, реализован численный метод на основе схемы Кранка Николсон. Коэффициенты дрейфа и диффузии оцениваются по данным мониторинга.

Результаты

Результаты. Численное решение верифицировано на шести тестовых случаях с расхождением менее 0.001 относительно аналитического. Модель проверена на дискретно-событийном имитаторе кластера из 170 узлов в четырех сценариях нагрузки. Систематическое сравнение с четырьмя базовыми методами (наивный прогноз, линейный тренд, авторегрессия первого порядка, историческая частота) на 904800 тестовых окнах показало преимущество FP-модели по критерию Брайера (0.0245 против 0.0372 у лучшей базовой модели) на всех горизонтах прогнозирования (1, 2, 5 и 10 мин).

Выводы

Выводы. Предложенная модель обеспечивает вероятностную оценку риска перегрузки узла Kubernetes на конечном горизонте прогноза и превосходит базовые методы по метрикам калибровки и дискриминации. Результаты создают основу для построения риск-ориентированных механизмов ранжирования узлов и интеграции вероятностной оценки в системе управления контейнерными кластерами.

Objectives

Objectives. In containerized computing infrastructures, workload placement relies on static parameters such as requests and limits . However, the stochastic nature of actual resource consumption, involving rare but significant peak bursts, can lead either to excessive resource reservation or an increased risk of overload. Existing approaches to resource allocation focus on deterministic node selection criteria or point forecasts of workloads, but do not provide direct probabilistic estimates of critical state thresholds. The probabilistic model for the overload risk of Kubernetes compute nodes developed in this paper formalizes overload as the first instance of a critical boundary being reached by a stochastic load process.

Methods

Methods. The normalized node load is modeled as a one-dimensional stochastic process, the probability density of which evolves according to the Fokker–Planck equation. An analytical solution to the boundary-value problem is derived for constant coefficients and mixed Robin–Dirichlet boundary conditions. For variable coefficients estimated from telemetry data, a numerical method based on the Crank–Nicolson scheme is employed. The drift and diffusion coefficients are estimated from monitoring data.

Results

Results. The model was validated using a discrete-event simulator for a 170-node cluster under four workload scenarios. A verification of the developed numerical solution against an analytical solution on six test cases produced a discrepancy of less than 0.001. A systematic comparison with four baseline methods (Persistence, Linear trend, AR(1), and Historical exceedance) across 904800 test windows demonstrates the superiority of the FP model in terms of the Brier score (0.0245 vs 0.0372 for the best baseline) for all prediction horizons (1, 2, 5, and 10 min). 

Conclusions

Conclusions. The proposed model provides a calibrated, probabilistic estimate of Kubernetes node overload risk over a finite prediction horizon, which outperforms baseline methods in terms of both calibration and discrimination metrics. These results pave the way for the development of risk-aware node ranking mechanisms and the integration of probabilistic risk assessment into container cluster management systems.

Kubernetesстохастическая динамикауравнение Фоккера Планкакраевая задачавероятность перегрузкипервое достижение границысхема Кранка НиколсонтелеметрияKubernetesstochastic dynamicsFokker–Planck equationboundary-value problemoverload probabilityfirst-hitting timeCrank–Nicolson schemetelemetryReferencesAhmad I., Alfailakawi M.Gh., AlMutawa A., Alsalman L. Container scheduling techniques: A survey and assessment. J. King Saud Univ. Comput. Inf. Sci . 2022;34(7):3934–3947. https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2021.03.002Ahmad I., Alfailakawi M.Gh., AlMutawa A., Alsalman L. Container scheduling techniques: A survey and assessment. J. King Saud Univ. Comput. Inf. Sci. 2022;34(7):3934–3947. https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2021.03.002Carrión C. Kubernetes scheduling: Taxonomy, ongoing issues and challenges. ACM Comput. Surv. 2023;55(7):138.Carrión C. Kubernetes scheduling: Taxonomy, ongoing issues and challenges. ACM Comput. Surv. 2023;55(7):138.Bashir N., Deng N., Rzadca K., Irwin D., Kodak S., Jnagal R. Take it to the limit: Peak prediction-driven resource overcommitment in datacenters. In: Proceedings of the 16th European Conference on Computer Systems ( EuroSys ’21 ) . New York: ACM; 2021. Р. 556–573.Bashir N., Deng N., Rzadca K., Irwin D., Kodak S., Jnagal R. Take it to the limit: Peak prediction-driven resource overcommitment in datacenters. In: Proceedings of the 16th European Conference on Computer Systems (EuroSys ’21). New York: ACM; 2021. Р. 556–573.Cohen M.C., Keller P., Mirrokni V., Zadimoghaddam M. Overcommitment in cloud services: Bin packing with chance constraints. Management Sci. 2019;65(7):3255–3271.Cohen M.C., Keller P., Mirrokni V., Zadimoghaddam M. Overcommitment in cloud services: Bin packing with chance constraints. Management Sci. 2019;65(7):3255–3271.Tirmazi M., Barker A., Deng N., Haque M.E., Qin Z.G., Hand S., et al. Borg: the next generation. In: Proceedings of the 15th European Conference on Computer Systems ( EuroSys ’20 ). New York: ACM; 2020. Р. 1–14.Tirmazi M., Barker A., Deng N., Haque M.E., Qin Z.G., Hand S., et al. Borg: the next generation. In: Proceedings of the 15th European Conference on Computer Systems (EuroSys ’20). New York: ACM; 2020. Р. 1–14.Lu C., Ye K., Xu G., Xu C.-Z., Bai T. Imbalance in the cloud: An analysis on Alibaba cluster trace. In: 2017 IEEE International Conference on Big Data ( BigData ) . IEEE; 2017. Р. 2884–2892. https://doi.org/10.1109/BigData.2017.8258257Lu C., Ye K., Xu G., Xu C.-Z., Bai T. Imbalance in the cloud: An analysis on Alibaba cluster trace. In: 2017 IEEE International Conference on Big Data (BigData). IEEE; 2017. Р. 2884–2892. https://doi.org/10.1109/BigData.2017.8258257Redner S. A Guide to First-Passage Processes . Cambridge: Cambridge University Press; 2001, 312 p.Redner S. A Guide to First-Passage Processes. Cambridge: Cambridge University Press; 2001, 312 p.Artime O., Khalil N., Toral R., San Miguel M. First-passage distributions for the one-dimensional Fokker–Planck equation. Phys. Rev. E . 2018;98(4):042143. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.042143Artime O., Khalil N., Toral R., San Miguel M. First-passage distributions for the one-dimensional Fokker–Planck equation. Phys. Rev. E. 2018;98(4):042143. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.98.042143Gardiner C.W. Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences . 4th ed. Berlin: Springer; 2009, 447 p.Gardiner C.W. Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences. 4th ed. Berlin: Springer; 2009, 447 p.Risken H. The Fokker–Planck Equation: Methods of Solution and Applications . 2nd ed. Berlin: Springer; 1996, 472 p.Risken H. The Fokker–Planck Equation: Methods of Solution and Applications. 2nd ed. Berlin: Springer; 1996, 472 p.Senjab K., Abbas S., Ahmed N., et al. A survey of Kubernetes scheduling algorithms. J. Cloud Comput . 2023;12(1):87. https://doi.org/10.1186/s13677-023-00471-1Senjab K., Abbas S., Ahmed N., et al. A survey of Kubernetes scheduling algorithms. J. Cloud Comput. 2023;12(1):87. https://doi.org/10.1186/s13677-023-00471-1Burns B., Grant B., Oppenheimer D., Brewer E., Wilkes J. Borg, Omega, and Kubernetes. Commun. ACM . 2016;59(5):50–57.Burns B., Grant B., Oppenheimer D., Brewer E., Wilkes J. Borg, Omega, and Kubernetes. Commun. ACM . 2016;59(5):50–57.Moritz de Carvalho Neto P., Castro M., Siqueira F. Dynamic load balancing in Kubernetes Environments with Kubernetes Scheduling Extension (KSE). Concurr. Comput. Pract. Exp . 2025;37(3):e8344. https://doi.org/10.1002/cpe.8344Moritz de Carvalho Neto P., Castro M., Siqueira F. Dynamic load balancing in Kubernetes Environments with Kubernetes Scheduling Extension (KSE). Concurr. Comput. Pract. Exp. 2025;37(3):e8344. https://doi.org/10.1002/cpe.8344Menouer T., Cérin C., Darmon P. Reactive autoscaling of Kubernetes nodes. In: FRAME’24: Proceedings of the 4th Workshop on Flexible Resource and Application Management on the Edge . New York: ACM; 2024. Р. 31–38.Menouer T., Cérin C., Darmon P. Reactive autoscaling of Kubernetes nodes. In: FRAME’24: Proceedings of the 4th Workshop on Flexible Resource and Application Management on the Edge. New York: ACM; 2024. Р. 31–38.Yuan H., Liao S. A time series-based approach to elastic Kubernetes scaling. Electronics . 2024;13(2):285. https://doi.org/10.3390/electronics13020285Yuan H., Liao S. A time series-based approach to elastic Kubernetes scaling. Electronics. 2024;13(2):285. https://doi.org/10.3390/electronics13020285Nunes J.P.K.S., Nejati S., Sabetzadeh M., Nakagawa E.Y. Self-adaptive, requirements-driven autoscaling of microservices. In: 19th International Symposium on Software Engineering for Adaptive and Self-Managing Systems ( SEAMS 2024 ) . IEEE/ACM; 2024. Р. 168–174.Nunes J.P.K.S., Nejati S., Sabetzadeh M., Nakagawa E.Y. Self-adaptive, requirements-driven autoscaling of microservices. In: 19th International Symposium on Software Engineering for Adaptive and Self-Managing Systems (SEAMS 2024). IEEE/ACM; 2024. Р. 168–174.Guruge P.B., Priyadarshana Y.H.P.P. Time series forecasting-based Kubernetes autoscaling using Facebook Prophet and Long Short-Term Memory. Front. Comput. Sci . 2025;7:1509165. https://doi.org/10.3389/fcomp.2025.1509165Guruge P.B., Priyadarshana Y.H.P.P. Time series forecasting-based Kubernetes autoscaling using Facebook Prophet and Long Short-Term Memory. Front. Comput. Sci. 2025;7:1509165. https://doi.org/10.3389/fcomp.2025.1509165Santos J., Reppas E., Wauters T., Volckaert B., De Turck F. Gwydion : Efficient auto-scaling for complex containerized applications in Kubernetes through reinforcement learning. J. Netw. Comput. Appl. 2025;234:104067. https://doi.org/10.1016/j.jnca.2024.104067Santos J., Reppas E., Wauters T., Volckaert B., De Turck F. Gwydion: Efficient auto-scaling for complex containerized applications in Kubernetes through reinforcement learning. J. Netw. Comput. Appl. 2025;234:104067. https://doi.org/10.1016/j.jnca.2024.104067Yu L., Chen L., Cai Z., Shen H., Liang Y., Pan Y. Stochastic load balancing for virtual resource management in datacenters. IEEE Trans. Cloud Comput . 2020;8(2):459–472. https://doi.org/10.1109/TCC.2016.2525984Yu L., Chen L., Cai Z., Shen H., Liang Y., Pan Y. Stochastic load balancing for virtual resource management in datacenters. IEEE Trans. Cloud Comput. 2020;8(2):459–472. https://doi.org/10.1109/TCC.2016.2525984Marbukh V. On systemic risk in the cloud computing model. In: 26th International Teletraffic Congress ( ITC 26 ) . Karlskrona: IEEE; 2014. https://doi.org/10.1109/ITC.2014.6932938Marbukh V. On systemic risk in the cloud computing model. In: 26th International Teletraffic Congress (ITC 26). Karlskrona: IEEE; 2014. https://doi.org/10.1109/ITC.2014.6932938Chamberlain J., Zheng J., Zhu Z., Liu Z., Starobinski D. Exploiting Kubernetes autoscaling for economic denial of sustainability. In: Proceedings of the ACM Measurement Analysis Computing Systems . 2025;9(2):22.Chamberlain J., Zheng J., Zhu Z., Liu Z., Starobinski D. Exploiting Kubernetes autoscaling for economic denial of sustainability. In: Proceedings of the ACM Measurement Analysis Computing Systems. 2025;9(2):22.Белопольская Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к задачам математической физики и финансовой математики . СПб.: Лань; 2023, 308 с. ISBN 978-5-507-47129-4Belopol’skaya Ya.I. Stokhasticheskie differentsial’nye uravneniya. Prilozheniya k zadacham matematicheskoi fiziki i finansovoi matematiki (Stochastic Differential Equations. Applications to Problems of Mathematical Physics and Financial Mathematics). St. Petersburg: Lan; 2023, 308 p. (In Russ.). ISBN 978-5-507-47129-423.Лесько С.А., Жуков Д.О., Истратов Л.А. Модели описания динамики блокировки узлов вычислительных сетей вирусами на основе использования перколяционных, кинетических и стохастических методов. Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2020;52:22–32. https://doi.org/10.17223/19988605/52/3Lesko S.A., Zhukov D.O., Istratov L.A. Models of describing the dynamics of blocking nodes of computer networks by viruses based on the use of percolation, kinetic and stochastic methods. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel’naya tekhnika i informatika = Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2020;52:22–32 (in Russ.). https://doi.org/10.17223/19988605/52/3Hwang H.J., Jang J., Jung J. The Fokker–Planck equation with absorbing boundary conditions in bounded domains. SIAM J. Math. Anal . 2018;50(2):2194–2232.Hwang H.J., Jang J., Jung J. The Fokker–Planck equation with absorbing boundary conditions in bounded domains. SIAM J. Math. Anal. 2018;50(2):2194–2232.Самарский А.А. Теория разностных схем . М.: Наука; 1989, 616 с. ISBN 5-02-014576-9Samarskii A.A. Teoriya raznostnykh skhem (Theory of Difference Schemes). Moscow: Nauka; 1989, 616 p. (In Russ.). ISBN 5-02-014576-9Thomas L.H. Elliptic Problems in Linear Difference Equations over a Network . Watson Scientific Computing Laboratory Report. New York: Columbia University; 1949, 71 p.Thomas L.H. Elliptic Problems in Linear Difference Equations over a Network. Watson Scientific Computing Laboratory Report. New York: Columbia University; 1949, 71 p.Brier G.W. Verification of forecasts expressed in terms of probability. Monthly Weather Rev . 1950;78(1):1–3.Brier G.W. Verification of forecasts expressed in terms of probability. Monthly Weather Rev. 1950;78(1):1–3.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.