Ожерелкова Лилия Мухарамовна - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры высшей и прикладной математики Института тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова.
119571, Москва, пр-т Вернадского, д. 86
Liliya M. Ozherelkova - Ph.D. (Eng.), Docent, Associate Professor of the Chair of Higher and Applied Mathematics, M.V. Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies.
86, Vernadskogo pr., Moscow 119571
Савин Евгений Степанович - кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией кафедры высшей и прикладной математики Института тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова.
119571, Москва, пр-т Вернадского, д. 86
Evgeniy S. Savin - Ph.D. (Phys.-Math.), Head of Laboratory of the Chair of Higher Mathematics and Applied Mathematics, M.V. Lomonosov Institute of Fine Chemical Technologies.
86, Vernadskogopr., Moscow 119571
Предложена математическая модель процесса нестационарной теплопроводности твердых тел в случае, когда в уравнении теплопроводности нельзя пренебречь зависимостью теплофизических характеристик среды (теплоемкости, плотности и коэффициента теплопроводности) от температуры. На основании экспериментальных данных, по температурным зависимостям теплоемкости и коэффициента теплопроводности получены уравнения теплопроводности для случаев высоких (Т » θ) и низких (Т « θ в) температур (θ - температура Дебая). Установлено, что в обоих случаях полученные зависимости имеют степенной характер, и это позволяет привести исходное уравнение теплопроводности к виду, допускающему применение классического метода разделения переменных при решении соответствующих краевых задач для уравнения теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности рассматривается в приближении, в котором длина свободного пробега фононов ограничена и не зависит от температуры, так что температурное поведение коэффициента теплопроводности определяется только температурной зависимостью теплоемкости. Получены точные аналитические решения для краевых задач, моделирующих теплопроводность в диэлектриках и металлах, находящихся в поликристаллическом состоянии. Рассмотрены решения, относящиеся к областям с фиксированными и движущимися границами. При решении краевых задач с движущимися границами в рамках предложенной модели теплопроводности использовано функциональное преобразование специального вида, позволяющее свести исходную задачу к задаче с фиксированными границами, но с преобразованным уравнением теплопроводности. Полученные результаты могут быть использованы в инженерных исследованиях кинетики целого ряда физических и химико-технологических процессов в твердых телах и жидкостях: диффузии, седиментации, вязкого течения, замедления нейтронов, течения жидкостей через пористую среду, электрических колебаний, сорбции, сушки, горения и др.
A mathematical model of the process of unsteady thermal conductivity of solids is proposed in the case where the dependence of the thermal characteristics of the medium (heat capacity, density and thermal conductivity coefficient) on temperature cannot be neglected in the heat conduction equation. Based on the experimental data equations of thermal conductivity are obtained for the cases of high (Т» θ) and low (Т«θ) temperatures (θ is the Debye temperature). Both in the case of high and low temperatures, the temperature dependences of the heat capacity and the thermal conductivity coefficient are power-law, which allows us to bring the original heat conduction equation to a form that allows the use of the classical method of variable separation in solving the corresponding boundary value problems for the heat conduction equation. The solution of the thermal conductivity equation is considered in the approximation, in which the free path of phonons is limited and does not depend on temperature, so that the temperature behavior of the thermal conductivity coefficient is determined only by the temperature dependence of the heat capacity. Exact analytical solutions for boundary value problems modeling thermal conductivity in dielectrics and metals in the polycrystalline state are obtained. The solutions relating to both areas with fixed and moving boundaries are considered. In order to solve boundary value problems with moving boundaries, in the framework of the proposed model of thermal conductivity, the functional transformation of a special kind is used. This allows reducing the original problem to the problem with fixed boundaries, but with the transformed heat conduction equation. The obtained results can be used in engineering studies of the kinetics of some physical and chemical processes in solids and liquids - diffusion, sedimentation, viscous flow, neutron deceleration, fluid flow through a porous medium, electrical oscillations, sorption, drying, combustion, etc.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.