mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2025-13-5-87-94SPEPVZmireabulletin-1247Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGАналитическая модель нормальной составляющей магнитной индукции постоянного магнитаAnalytical model for the normal component of magnetic induction of a permanent magnetshttps://orcid.org/0009-0006-1249-8039ЗакатовМ. М.ZakatovM. M.

Закатов Михаил Михайлович, к.т.н., старший научный сотрудник, доцент, кафедра механики и инженерной графики

141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск, ул. Соколовская, стр. 1

Mikhail M. Zakatov, Cand. Sci. (Eng.), Senior Researcher, Associate Professor, Department of Mechanics and Engineering Graphics

1, Sokolovskaya ul., mkr. Novogorsk, Khimki, Moscow oblast, 141435

zakatov46@mail.ruАкадемия гражданской защиты МЧС России имени Д.И. МихайликаРоссияDmitriy Mikhailik Academy of Civil Defence of the Ministry of Emergency Situations of RussiaRussian Federation2025081020251358794Copyright © Закатов М.М., 20252025Закатов М.М.Zakatov M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1247

Цели. В измерительной системе с индукционной передачей информации с перемещающейся конструкции на неподвижный приемник информационный сигнал, несущий информацию о параметрах перемещающейся конструкции, формируется магнитной системой, содержащей постоянный магнит, установленный на неподвижной части измерительной системы. Магнитное поле постоянного магнита (МППМ) определяет магнитный поток, и, следовательно, индукционный ток в другом элементе магнитной системы – проводящем витке, расположенном на перемещающейся конструкции. Для теоретического обоснования параметров измерительной системы, в т.ч. для оптимизации ее составных частей, необходима простая, удобная для применения аналитическая модель информационного сигнала (АМИС), что определяет требования к математическому описанию МППМ. Известные решения задач по расчету МППМ содержат обратные тригонометрические функции или представлены результатами численных расчетов, что затрудняет их использование для разработки АМИС измерительной системы. Целью данной статьи является получение точного решения задачи расчета МППМ и разработка на основании этого точного решения аналитической модели нормальной составляющей вектора магнитной индукции (НСВМИ) постоянного магнита, используемой для разработки АМИС.Методы. Использовались методы математического анализа и метод эквивалентного соленоида.Результаты. Получено точное решение задачи расчета НСВМИ МППМ, имеющего форму параллелепипеда, на основании которого получено выражение, аппроксимирующее формулу точного решения, – аналитическая модель НСВМИ.Выводы. Полученная аналитическая модель НСВМИ может быть использована для теоретической разработки АМИС измерительной системы с индукционной передачей информации о параметрах перемещающейся конструкции на неподвижный приемник сигнала.

Objectives. In a measuring system based on the inductive transmission of information from a moving structure to a stationary signal receiver, the signal carrying useful information about the parameters of the moving structure is formed by a magnetic system containing a permanent magnet mounted on the stationary part of the measuring system. The magnetic field of the permanent magnet (MFPM) determines the magnetic flux, and, consequently, the induction current in a conducting coil located on the moving structure. In order to theoretically justify the parameters of the measuring system including the optimization of its components, a simple and easy-to-use analytical model of the useful signal for determining the requirements for the mathematical description of the MFPM is required. The use of known solutions for developing an analytical model of the useful signal of the measuring system is complicated by the need to use inverse trigonometric functions or the results of numerical calculations. The present work sets out to obtain an exact solution to the problem of calculating the MFPM and on this basis to develop a simple, convenient analytical model of the normal component of the magnetic induction vector (NCMIV) of a permanent magnet used to develop an analytical model of the useful signal.Methods. The equivalent solenoid method was used along with mathematical analysis approaches.Results. An exact solution for calculating the normal component of the magnetic induction vector of the parallelepipedshaped permanent magnet was obtained. Based on this, a straightforward and easy-to-use analytical model of the NCMIV was developed, which closely approximates the formula derived for the exact solution.Conclusions. The developed analytical model of the NCMIV can be used for theoretical development of an analytical model of the useful signal of a measuring system with inductive transmission of information about the parameters of a moving structure to a stationary signal receiver.

постоянный магнитмагнитная индукцияэквивалентный соленоиднормальная составляющаяаналитическая модельpermanent magnetmagnetic inductionequivalent solenoidnormal componentanalytical modelReferencesПопов И.А., Гортышов Ю.Ф., Олимпиев В.В. Промышленное применение интенсификации теплообмена – современное состояние проблемы (Обзор). Теплоэнергетика. 2012;1:3–14.Popov I.A., Gortyshov Yu.F., Olimpiev V.V. Industrial application of heat transfer enhancement: The modern state of the problem (a Review). Therm. Eng. 2012;59(1):1–12. https://doi.org/10.1134/S0040601512010119 [Original Russian Text: Popov I.A., Gortyshov Yu.F., Olimpiev V.V. Industrial application of heat transfer enhancement: The modern state of the problem (a Review). Teploenergetika. 2012;1:3–14 (in Russ.).]Соловьев С.А., Соловьева О.В., Шакурова Р.З., Голубев Я.П. Обзор применения высокопористых ячеистых теплообменников. Известия высших учебных заведений. ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГЕТИКИ. 2024;26(1):165–194. https://doi.org/10.30724/1998-9903-2024-26-1-165-194Solovev S.A., Soloveva O.V., Shakurova R.Z., Golubev Ya.P. Overview of the application of open cell foam heat exchangers. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. PROBLEMY ENERGETIKI = Power Engineering: Research, Equipment, Technology. 2024;26(1):165–194 (in Russ.). https://doi.org/10.30724/1998-9903-2024-26-1-165-194Кугатов П.В. Использование пористых углеродных материалов в качестве носителей для катализаторов. Башкирский химический журнал. 2011;18(1):98–105.Kugatov P.V. Use of porous carbon materials as carriers for catalysts. Bashkirskii khimicheskii zhurnal = Bashkir Chemical Journal. 2011;18(1):98–105 (in Russ.).Тестоедов Н.А., Наговицин В.Н., Пермяков М.Ю. Применение трехслойных сотовых конструкций в космических аппаратах. Сибирский аэрокосмический журнал. 2016;17(1):200–211.Testoedov N.A., Nagovitsin V.N., Permyakov M.Yu. Spacecraft application of three layer honeycomb structures. Sibirskii aerokosmicheskii zhurnal = Siberian Aerospace Journal. 2016;17(1):200–211 (in Russ.).Соловьева О.В., Соловьев С.А., Шакурова Р.З. Обзор современных керамических ячеистых материалов и композитов, применяемых в теплотехнике. Известия высших учебных заведений. ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГЕТИКИ. 2023;25(1): 82–104. https://doi.org/10.30724/1998-9903-2023-25-1-82-104Solovev S.A., Soloveva O.V., Shakurova R.Z. Review of modern ceramic cellular materials and composites used in heat engineering. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. PROBLEMY ENERGETIKI = Power Engineering: Research, Equipment, Technology. 2023;25(1):82–104 (in Russ.). https://doi.org/10.30724/1998-9903-2023-25-1-82-104Брагин Д.М., Еремин А.В., Попов А.И., Шульга А.С. Метод определения коэффициента эффективной теплопроводности пористого материала на основе минимальной поверхности типа Schoen’s I-WP(R). Вестник ИГЭУ. 2023;2: 61–68. https://doi.org/10.17588/2072-2672.2023.2.061-068Bragin D.M., Eremin A.V., Popov A.I., Shulga A.S. Method to determine effective thermal conductivity coefficient of porous material based on minimum surface Schoen’s I-WP(R) type. Vestnik IGEU. 2023;2:61–68 (in Russ.). https://doi.org/10.17588/2072-2672.2023.2.061-068Зинина С.А., Попов А.И., Еремин А.В. Численное решение нелинейной задачи теплопроводности в пористой пластине с упорядоченной макроструктурой. Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2024;1:53–67. https://doi.org/10.26456/vtpmk702Zinina S.A., Popov A.I., Eremin A.V. Numerical solution of the nonlinear problem of thermal conductivity in a porous plate with an ordered macrostructure. Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya matematika = Herald of Tver State University. Ser.: Appl. Math. 2024;1:53–67. https://doi.org/10.26456/vtpmk702Попов А.И. Разработка тепловой изоляции с упорядоченной структурой, основанной на ТПМП Неовиуса. Вестник ИГЭУ. 2022;6:58–68.Popov A.I. Development of thermal insulation with ordered structure based on Neovius TPMS. Vestnik IGEU. 2022;6:58–68 (in Russ.).Al-Ketan O., Abu Al-Rub R.K. Multifunctional mechanical metamaterials based on triply periodic minimal surface lattices. Adv. Eng. Mater. 2019;21(10):1900524. https://doi.org/10.1002/adem.201900524Al-Ketan O., Abu Al-Rub R.K. Multifunctional mechanical metamaterials based on triply periodic minimal surface lattices. Adv. Eng. Mater. 2019;21(10):1900524. https://doi.org/10.1002/adem.201900524Schoen A.H. Reflections concerning triply-periodic minimal surfaces. Interface Focus. 2012;2(5):658–668. https://doi.org/10.1098/rsfs.2012.0023Schoen A.H. Reflections concerning triply-periodic minimal surfaces. Interface Focus. 2012;2(5):658–668. https://doi.org/10.1098/rsfs.2012.0023Abueidda D.W., Bakir M., Al-Rub R.K.A., Bergström J.S., Sobh N.A., Jasiuk I. Mechanical properties of 3D printed polymeric cellular materials with triply periodic minimal surface architectures. Materials & Design. 2017;122(9):255–267. https://doi.org/10.1016/j.matdes.2017.03.018Abueidda D.W., Bakir M., Al-Rub R.K.A., Bergström J.S., Sobh N.A., Jasiuk I. Mechanical properties of 3D printed polymeric cellular materials with triply periodic minimal surface architectures. Materials & Design. 2017;122(9):255–267. https://doi.org/10.1016/j.matdes.2017.03.018Карташов Э.М. Математические модели теплопроводности с двухфазным запаздыванием. Инженерно-физический журнал. 2016;89(2):338–349.Kartashov E.M. Mathematical models of heat conduction with two-phase lag. J. Eng. Phys. Thermophys. 2016;89(2): 346–356. https://doi.org/10.1007/s10891-016-1385-9 [Original Russian Text: Kartashov E.M. Mathematical models of heat conduction with two-phase lag. Inzhenerno-fizicheskii zhurnal. 2016;89(2):338–349 (in Russ.).]Карташов Э.М., Кротов Г.С. Аналитическое решение однофазной задачи Стефана. Математическое моделирование. 2008;20(3):77–86.Kartashov E.M., Krotov G.S. Analytical solution of single-phase Stefan problem. Math. Models Comput. Simul. 2009;1(2):180–188. https://doi.org/10.1134/S2070048209020021 [Original Russian Text: Kartashov E.M., Krotov G.S. Analytical solution of single-phase Stefan problem. Matematicheskoe modelirovanie. 2008;20(3):77–86 (in Russ.).]Карташов Э.М. Аналитические подходы к исследованиям нестационарной теплопроводности для частично ограниченных областей. Теплофизика высоких температур. 2020;58(3):402–411. https://doi.org/10.31857/S0040364420030084Kartashov E.M. Analytical approaches to the analysis of unsteady heat conduction for partially bounded regions. High Temp. 2020;58(3):377–385. https://doi.org/10.1134/S0018151X20030086 [Original Russian Text: Kartashov E.M. Analytical approaches to the analysis of unsteady heat conduction for partially bounded regions. Teplofizika vysokikh temperatur. 2020;58(3):402–411 (in Russ.). https://doi.org/10.31857/S0040364420030084 ]Коренченко А.Е., Жукова А.А. Испарение жидкой лежащей капли в условиях вынужденной конвекции. Russ. Technol. J. 2021;9(5):57–66. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2021-9-5-57-66Korenchenko A.E., Zhukova A.A. Evaporation of a liquid sessile droplet subjected to forced convection. Russ. Technol. J. 2021;9(5):57–66 https://doi.org/10.32362/2500-316X-2021-9-5-57-66Глинский И.А., Зенченко Н.В., Мальцев П.П. Тепловое моделирование терагерцового квантового-каскадного лазера на основе наногетероструктуры GaAs/AlGaAs. Rossiiskii Tekhnologicheskii Zhurnal. 2016;4(3):27–36. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2016-4-3-27-36Glinskiy I.A., Zenchenko N.V., Maltsev P.P. Thermal modelling of terahertz Quantum-cascade laser based on nanoheterostructures GaAs/AlGaAs. Rossiiskii Tekhnologicheskii Zhurnal. 2016;4(3):27–36 (in Russ.). https://doi.org/10.32362/2500-316X-2016-4-3-27-36Hayashi K., Kishida R., Tsuchiya A., Ishikawa K. Superiority of triply periodic minimal surface gyroid structure to strutbased grid structure in both strength and bone regeneration. ACS Appl. Mater. Interfaces. 2023;15(29):34570–34577. https://doi.org/10.1021/acsami.3c06263Hayashi K., Kishida R., Tsuchiya A., Ishikawa K. Superiority of triply periodic minimal surface gyroid structure to strutbased grid structure in both strength and bone regeneration. ACS Appl. Mater. Interfaces. 2023;15(29):34570–34577. https://doi.org/10.1021/acsami.3c06263Chouhan G., Bala Murali G. Designs, advancements, and applications of three-dimensional printed gyroid structures: A review. In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part E: Journal of Process Mechanical Engineering. 2024;238(2):965–987. https://doi.org/10.1177/09544089231160030Chouhan G., Bala Murali G. Designs, advancements, and applications of three-dimensional printed gyroid structures: A review. In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part E: Journal of Process Mechanical Engineering. 2024;238(2):965–987. https://doi.org/10.1177/09544089231160030Wakao N., Kagei S. Heat and Mass Transfer in Packed Beds. Taylor & Francis; 1982. 364 p.Wakao N., Kagei S. Heat and Mass Transfer in Packed Beds. Taylor & Francis; 1982. 364 p.Popov A.I. Heat Transfer Solver. V. 1. Mendeley Data. 2024. https://doi.org/10.17632/kcn33tr7sb.1Popov A.I. Heat Transfer Solver. V. 1. Mendeley Data. 2024. https://doi.org/10.17632/kcn33tr7sb.1Bragin D.M., Popov A.I., Eremin A.V. The thermal conductivity properties of porous materials based on TPMS. Int. J. Heat Mass Transfer. 2024;231:125863. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.125863Bragin D.M., Popov A.I., Eremin A.V. The thermal conductivity properties of porous materials based on TPMS. Int. J. Heat Mass Transfer. 2024;231:125863. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.125863

The authors declare that there are no conflicts of interest present.