mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2025-13-2-132-142EATLRMmireabulletin-1132Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМатематическое моделирование технологических параметров порошковой лазерной наплавки на основе аппроксимации профиля дорожки напыленияMathematical modeling of technological parameters of laser powder surfacing based on approximation of the deposition track profilehttps://orcid.org/0000-0002-8840-248XСоловьевМ. Е.SolovievMikhail E.

Соловьев Михаил Евгеньевич, д.ф.-м.н. профессор, кафедра информационных систем и технологий, Институт цифровых систем

150023, Ярославль, Московский пр-т, д. 88

Scopus AuthorID 57190224257;

ResearcherID A-4328-2014

Mikhail E. Soloviev, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Department of Information Systems and Technologies, Institute of Digital Systems

88, Moskovskii pr., Yaroslavl, 150023 

Scopus Author ID 57190224257;

ResearcherID A-4328-2014

me_s@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0009-9861-1531МалышевД. В.MalyshevDenis V.

Малышев Денис Владимирович, ассистент, кафедра информационных систем и технологий, Институт цифровых систем

150023, Ярославль, Московский пр-т, д. 88

Denis V. Malyshev, Assistant, Department of Information Systems and Technologies, Institute of Digital Systems

88, Moskovskii pr., Yaroslavl, 150023 

deniscs49@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-1917-7979БалдаевС. Л.BaldaevSergey L.

Балдаев Сергей Львович, к.т.н., заместитель генерального директора по технологиям

108851, Москва, г. Щербинка, ул. Южная, д. 9А

ResearcherID B-8056-2018

Sergey L. Baldaev, Cand. Sci. (Eng.), Deputy General Director

9A, Yuzhnaya ul., Shcherbinka, Moscow, 108851

ResearcherID B-8056-2018

s.baldaev@tspc.ruhttps://orcid.org/0000-0002-9084-8771БалдаевЛ. Х.BaldaevLev Kh.

Балдаев Лев Христофорович, д.т.н., генеральный директор

108851, Москва, г. Щербинка, ул. Южная, д. 9А

Lev Kh. Baldaev, Dr. Sci. (Eng.), General Director

9A, Yuzhnaya ul., Shcherbinka, Moscow, 108851

l.baldaev@tspc.ruЯрославский государственный технический университетРоссияYaroslavl State Technical UniversityRussian FederationООО «Технологические системы защитных покрытий»РоссияTechnological Systems of Protective CoatingsRussian Federation202507042025132132142Copyright © Соловьев М.Е., Малышев Д.В., Балдаев С.Л., Балдаев Л.Х., 20252025Соловьев М.Е., Малышев Д.В., Балдаев С.Л., Балдаев Л.Х.Soloviev M.E., Malyshev D.V., Baldaev S.L., Baldaev L.K.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1132Цели

Цели. Лазерная порошковая наплавка – перспективная технология в машиностроении, позволяющая эффективно восстанавливать изношенные поверхности деталей и создавать специальные покрытия с ценными свойствами. Методы математического моделирования имеют решающее значение в исследовании и развитии технологии лазерной наплавки. Процесс нанесения порошкового покрытия предполагает перемещение распылительной головки относительно поверхности детали, образуя валик – дорожку напыления. Покрытия формируются путем последовательного нанесения этих дорожек. Целью исследования является изучение различных методов аппроксимации профиля и оптимизация технологических параметров в процессах порошковой лазерной наплавки.

Методы

Методы. Использованы методы математического моделирования для описания зависимостей параметров профиля дорожек напыления при лазерной наплавке от технологических параметров процесса. Получение контуров профилей сечения наплавки осуществлялось методами анализа изображений микрофотографий шлифов поперечных сечений деталей с наплавкой. Для аппроксимации кривых контуров сечений использовались методы линейного и нелинейного регрессионного анализа. Зависимость параметров контуров профилей сечения наплавки от технологических параметров напыления аппроксимировалась двухфакторным уравнением параболической регрессии. Поиск оптимальных значений технологических параметров напыления осуществляли методом условной оптимизации с линейной аппроксимацией доверительной области.

Результаты

Результаты. Рассмотрены три варианта аппроксимирующих функций профиля сечения дорожки наплавки, из которых была выбрана нелинейная двухпараметрическая функция. Получены отображения множества технологических параметров наплавки во множество параметров аппроксимирующей линии контура. С использованием регрессионных моделей данных отображений найдены оптимальные значения технологических параметров наплавки, обеспечивающие максимальную величину площади контура наплавки при ограничениях на долю области подплавления к общей площади сечения. Аппроксимирующая функция профиля сечения дорожки наплавки использована для расчета оптимального шага нанесения дорожек, обеспечивающего наиболее ровную поверхность наплавки.

Выводы

Выводы. Результаты проведенного исследования могут рассматриваться в качестве методики оптимизации технологических параметров лазерной наплавки порошковых металлов, позволяющей обеспечивать заданные характеристики профиля дорожки напыления и выбирать шаг нанесения дорожек, при котором достигается наиболее ровная поверхность наплавки.

Objectives

Objectives. Laser powder surfacing is a promising mechanical engineering technology used to effectively restore worn surfaces of parts and create special coatings with valuable properties. In the research and development of laser cladding technology, mathematical modeling methods are of crucial importance. The process of applying powder coating involves moving the spray head relative to the surface of the part to form a roller or spray path, whose sequential application results in the formation of coatings. The study sets out to evaluate methods of profile approximation and optimization of technological parameters in laser powder cladding processes.

Methods

Methods. In order to describe the dependencies of the profile parameters of the deposition paths during laser surfacing on the technological parameters of the process, mathematical modeling methods were used. The contours of the profiles of the surfacing section were obtained by analyzing images of microphotographs of thin sections of the cross sections of parts with applied surfacing. To approximate the curves of the section contours, methods of linear and nonlinear regression analysis were used. The dependence of the parameters of the profile contours of the surfacing section on the technological parameters of the spraying was represented by a two-factor parabolic regression equation. The search for optimal values of spraying technological parameters was carried out using the method of conditional optimization with linear approximation of the confidence region.

Results

Results. A nonlinear two-parameter function was selected from three options for approximating functions of the section profile of a surfacing track. Technological surfacing parameters were mapped onto a set of parameters of the approximating contour line. Optimal values of the technological parameters of surfacing were obtained using regression models of these mappings to provide the maximum value of the area of the surfacing contour under restrictions on the proportion of the sub-melting area to the total cross-sectional area. The approximating function of the cross-sectional profile of the surfacing track was used to calculate the optimal pitch of the tracks that provides the most even surface.

Conclusions

Conclusions. The results of the study represent a technique for optimizing the technological parameters of laser surfacing with powder metals to ensure specified characteristics of the deposition track profile and select the track deposition step at which the most even deposition surface is achieved.

математическое моделированиелазерная наплавкаконтур сеченияаппроксимациярегрессионный анализоптимизацияmathematical modelinglaser claddingsection contourapproximationregression analysisoptimizationReferencesToyserkani E., Khajepour A. Corbin S. Laser Cladding. Boca Raton: CRC Press; 2005. 263 p.Toyserkani E., Khajepour A. Corbin S. Laser Cladding. Boca Raton: CRC Press; 2005. 263 p.Ghasempour-Mouziraji M., LagarinhosJ., Afonso D., de Sousa R.A. A review study on metal powder materials and processing parameters in Laser Metal Deposition. Opt. Laser Technol. 2024;170:110226. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2023.110226Ghasempour-Mouziraji M., LagarinhosJ., Afonso D., de Sousa R.A. A review study on metal powder materials and processing parameters in Laser Metal Deposition. Opt. Laser Technol. 2024;170:110226. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2023.110226Cheng J., Xing Y., Dong E., Zhao L., Liu H., Chang T., Chen M., Wang J., Lu J., Wan J. An Overview of Laser Metal Deposition for Cladding: Defect Formation Mechanisms, Defect Suppression Methods and Performance Improvements of Laser-Cladded Layers. Materials. 2022;15(16):5522. https://doi.org/10.3390/ma15165522Cheng J., Xing Y., Dong E., Zhao L., Liu H., Chang T., Chen M., Wang J., Lu J., Wan J. An Overview of Laser Metal Deposition for Cladding: Defect Formation Mechanisms, Defect Suppression Methods and Performance Improvements of Laser-Cladded Layers. Materials. 2022;15(16):5522. https://doi.org/10.3390/ma15165522Davis J.R. Handbook of Thermal Spray Technology. ASM International; 2004. 338 p.Davis J.R. Handbook of Thermal Spray Technology. ASM International; 2004. 338 p.Газотермическое напыление; под общей ред. Балдаева Л.Х. М.: Маркет ДС; 2007. 344 с.Baldaev L.H. (Ed.). Gazotermicheskoe napylenie (Gas Thermal Spraying); Moscow: Market DS; 2007. 344 p. (in Russ.).Ильющенко А.Ф., Шевцов А.И., Оковитый В.А., Громыко В.Ф. Процессы формирования газотермических покрытий и их моделирование. Минск: Беларус. наука; 2011. 357 с.Il’yushchenko A.F., Shevtsov A.I., Okovityi V.A., Gromyko V.F. Protsessy formirovaniya gazotermicheskikh pokrytii i ikh modelirovanie (Processes of Formation of Gas-Thermal Coatings and Their Modeling). Minsk: Belarus. nauka; 2011. 357 p. (in Russ.).Bian L., Shamsaei N., Usher J. (Eds.). Laser-Based Additive Manufacturing of Metal Parts: Modeling, Optimization, and Control of Mechanical Properties. Boca Raton: CRC Press; 2018. 328 p.Bian L., Shamsaei N., Usher J. (Eds.). Laser-Based Additive Manufacturing of Metal Parts: Modeling, Optimization, and Control of Mechanical Properties. Boca Raton: CRC Press; 2018. 328 p.Steen W.M., Mazumder J. Laser Material Processing. London: Springer; 2010. 558 p.Steen W.M., Mazumder J. Laser Material Processing. London: Springer; 2010. 558 p.Dowden J.M. The Mathematics of Thermal Modeling an Introduction to the Theory of Laser Material Processing. Boca Raton: CRC Press; 2001. 292 p.Dowden J.M. The Mathematics of Thermal Modeling an Introduction to the Theory of Laser Material Processing. Boca Raton: CRC Press; 2001. 292 p.Pinkerton A.J. Advances in the modeling of laser direct metal deposition. J. Laser Appl. 2015;27:S15001. https://doi.org/10.2351/1.4815992Pinkerton A.J. Advances in the modeling of laser direct metal deposition. J. Laser Appl. 2015;27:S15001. https://doi.org/10.2351/1.4815992Kovalev O.B., Bedenko D.V., Zaitsev A.V. Development and application of laser cladding modeling technique: From coaxial powder feeding up to the surface deposition and bead formation. Appl. Math. Modell. 2018;57:339–359. https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.09.043Kovalev O.B., Bedenko D.V., Zaitsev A.V. Development and application of laser cladding modeling technique: From coaxial powder feeding up to the surface deposition and bead formation. Appl. Math. Modell. 2018;57:339–359. https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.09.043Khamidullin B.A., Tsivilskiy I.V., Gorunov A.I., Gilmutdinov A.Kh. Modeling of the effect of powder parameters on laser cladding using coaxial nozzle. Surf. Coat. Technol. 2019;364:430–443. https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2018.12.002Khamidullin B.A., Tsivilskiy I.V., Gorunov A.I., Gilmutdinov A.Kh. Modeling of the effect of powder parameters on laser cladding using coaxial nozzle. Surf. Coat. Technol. 2019;364:430–443. https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2018.12.002De Oliveira U., Ocelík V., De Hosson J.Th.M. Analysis of coaxial laser cladding processing conditions. Surf. Coat. Technol. 2005;197(2–3):127–136. https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2004.06.029De Oliveira U., Ocelík V., De Hosson J.Th.M. Analysis of coaxial laser cladding processing conditions. Surf. Coat. Technol. 2005;197(2–3):127–136. https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2004.06.029Ocelík V., De Oliveira U., De Hosson J.Th.M. Thick tool steel coatings with laser cladding. WIT Trans. Eng. Sci. 2007;55. https://doi.org/10.2495/SECM070021Ocelík V., De Oliveira U., De Hosson J.Th.M. Thick tool steel coatings with laser cladding. WIT Trans. Eng. Sci. 2007;55. https://doi.org/10.2495/SECM070021Ocelik V., Nenadl O., Palavra A., De Hosson J.Th.M. On the geometry of coating layers formed by overlap. Surf. Coat. Technol. 2014;242:54–61. https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2014.01.018Ocelik V., Nenadl O., Palavra A., De Hosson J.Th.M. On the geometry of coating layers formed by overlap. Surf. Coat. Technol. 2014;242:54–61. https://doi.org/10.1016/j.surfcoat.2014.01.018Jhavar S., Jain N.K., Paul C.P. Development of micro-plasma transferred arc (µ-PTA) wire deposition process for additive layer manufacturing applications. J. Mater. Process. Technol. 2014;214(5):1102–1110. https://doi.org/10.1016/j.jmatprotec.2013.12.016Jhavar S., Jain N.K., Paul C.P. Development of micro-plasma transferred arc (µ-PTA) wire deposition process for additive layer manufacturing applications. J. Mater. Process. Technol. 2014;214(5):1102–1110. https://doi.org/10.1016/j.jmatprotec.2013.12.016Jhavar S., Jain N.K., Paul C.P. Enhancement of Deposition Quality in Micro-plasma Transferred Arc Deposition Process. Mater. Manuf. Process. 2014;29(8):1017–1023. https://doi.org/10.1080/10426914.2014.892984Jhavar S., Jain N.K., Paul C.P. Enhancement of Deposition Quality in Micro-plasma Transferred Arc Deposition Process. Mater. Manuf. Process. 2014;29(8):1017–1023. https://doi.org/10.1080/10426914.2014.892984Jain N.K., Sawant M.S., Nikam S.H., Jhavar S. Metal Deposition: Plasma-Based Processes. In: Encyclopedia of Plasma Technology. 1st ed. V. II. New York: Taylor and Francis; 2016. 19 p. http://doi.org/10.1081/E-EPLT-120053919Jain N.K., Sawant M.S., Nikam S.H., Jhavar S. Metal Deposition: Plasma-Based Processes. In: Encyclopedia of Plasma Technology. 1st ed. V. II. New York: Taylor and Francis; 2016. 19 p. http://doi.org/10.1081/E-EPLT-120053919Yu T., Yang L., Zhao Yu., Sun J., Li B. Experimental research and multi-response multi-parameter optimization of laser cladding Fe313. Opt. Laser Technol. 2018;108:321–332. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2018.06.030Yu T., Yang L., Zhao Yu., Sun J., Li B. Experimental research and multi-response multi-parameter optimization of laser cladding Fe313. Opt. Laser Technol. 2018;108:321–332. https://doi.org/10.1016/j.optlastec.2018.06.030Suzuki S., KeiichiA be. Topological structural analysis of digitized binary images by border following. Computer Vision, Graphics, and Image Processing. 1985;30(1):32–46. https://doi.org/10.1016/0734-189X(85)90016-7Suzuki S., KeiichiA be. Topological structural analysis of digitized binary images by border following. Computer Vision, Graphics, and Image Processing. 1985;30(1):32–46. https://doi.org/10.1016/0734-189X(85)90016-7Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis: 3rd ed. New York: Wiley-Interscience; 1998. 736 p.Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis: 3rd ed. New York: Wiley-Interscience; 1998. 736 p.Bates D.M., Watts D.G. Nonlinear Regression Analysis and its Applications. New York: Wiley & Sons; 1988. 365 p.Bates D.M., Watts D.G. Nonlinear Regression Analysis and its Applications. New York: Wiley & Sons; 1988. 365 p.Vugrin K.W., Swiler L.P., Roberts R.M., Stucky-Mack N.J., Sullivan S.P. Confidence region estimation techniques for nonlinear regression in groundwater flow: Three case studies. Water Resour. Res. 2007;43(3):W03423. https://doi.org/10.1029/2005WR004804Vugrin K.W., Swiler L.P., Roberts R.M., Stucky-Mack N.J., Sullivan S.P. Confidence region estimation techniques for nonlinear regression in groundwater flow: Three case studies. Water Resour. Res. 2007;43(3):W03423. https://doi.org/10.1029/2005WR004804Powell M.J.D. Direct search algorithms for optimization calculations. Acta Numerica. 1998;7:287–336. https://doi.org/10.1017/S0962492900002841Powell M.J.D. Direct search algorithms for optimization calculations. Acta Numerica. 1998;7:287–336. https://doi.org/10.1017/S0962492900002841Соловьев М.Е., Кокарев С.С., Балдаев С.Л., Балдаев Л.Х., Мищенко В.И., Федорова М.О. Аппроксимация профиля сечения пятна напыления при газотермическом нанесении порошкового покрытия. Информационно-технологический вестник. 2022;3(33):138–163.Soloviev M.E., Kokarev S.S., Baldaev S.L., Baldaev L.Kh., Mishchenko V.I., Fedorova M.O. Approximation of the profile of the section of the spray spot during gas thermal deposition of powder coating. Informatsionno-tekhnologicheskii vestnik = Information Technology Bulletin. 2022;3(33):138–163 (in Russ.).Niz’ev V.G., Khomenko M.D., Mirzade F.Kh. Process planning and optimisation of laser cladding considering hydrodynamics and heat dissipation geometry of parts. Quantum Electron. 2018;48(8):743–748. https://doi.org/10.1070/QEL16708Niz’ev V.G., Khomenko M.D., Mirzade F.Kh. Process planning and optimisation of laser cladding considering hydrodynamics and heat dissipation geometry of parts. Quantum Electron. 2018;48(8):743–748. https://doi.org/10.1070/QEL16708Cao Y., Zhu S., Liang X., Wang W. Overlapping model of beads and curve fitting of bead section for rapid manufacturing by robotic MAG welding process. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing (RCIM). 2011;27(3):641–645. https://doi.org/10.1016/j.rcim.2010.11.002Cao Y., Zhu S., Liang X., Wang W. Overlapping model of beads and curve fitting of bead section for rapid manufacturing by robotic MAG welding process. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing (RCIM). 2011;27(3):641–645. https://doi.org/10.1016/j.rcim.2010.11.002Балдаев С.Л., Соловьев М.Е., Раухваргер А.Б., Балдаев Л.Х., Мищенко В.И. Влияние параметров плазменного напыления порошка оксида алюминия на адгезионную прочность керамических покрытий термонапряженных узлов газотурбинных двигателей. Вестник МЭИ. 2024;1:93–102. https://doi.org/10.24160/1993-6982-2024-1-93-102Baldaev S.L., Soloviev M.E., Raukhvarger A.B., Baldaev L.Kh., Mishchenko V.I. The Influence of Aluminum Oxide Powder Plasma Spraying Parameters on the Adhesive Strength of Ceramic Coatings Applied to the Gas Turbine Engine Thermally Stressed Components. Vestnik MEI = Bulletin of MPEI. 2024;1:93–102 (in Russ.). https://doi.org/10.24160/1993-6982-2024-1-93-102

The authors declare that there are no conflicts of interest present.