mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2018-6-3-39-53mireabulletin-113Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛНЫХ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМMODIFIED ALGORITHM FOR DETERMINATION OF FULL STABILITY AREAS IN NONSTATIONARY NONLINEAR SYSTEMSБердниковВ. П.BerdnikovV. P.berdnikov_vp@mail.ruМИРЭА - Российский технологический университетРоссияMIREA - Russian Technological UniversityRussian Federation201828062018633953Copyright © Бердников В.П., 20182018Бердников В.П.Berdnikov V.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/113

В статье предлагается численный алгоритм построения сплайн-функций Ляпунова для исследования абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем. В случае асимптотической устойчивости системы выполнение алгоритма приведет к построению поверхности уровня функции Ляпунова в виде кусочно-гладкой (гладкой, при выполнении дополнительных условий) замкнутой поверхности размерности, равной размерности исходной системы. Показано, что данный алгоритм позволяет существенно улучшить оценки границы устойчивости, получаемые с помощью частотных методов. В отличие от алгоритма построения кусочно-линейных функций Ляпунова, время работы предлагаемого алгоритма построения сплайн-функций Ляпунова не стремится к бесконечности при приближении системы к границе устойчивости. Данное обстоятельство позволяет использовать модифицированный алгоритм для определения устойчивости систем, находящихся близко к границе устойчивости. Приведены оценки точности определения области устойчивости на примере конкретной системы 3-го порядка. Даны рекомендации по выбору начальных условий работы алгоритма.

The paper proposes a numerical algorithm for constructing Lyapunov spline functions for investigating the absolute stability of nonlinear nonstationary systems. In the case of asymptotic stability of the system, the implementation of the algorithm will lead to the construction of the Lyapunov function level set in the form of a piece-wise smooth (smooth, if additional conditions are met) closed surface of dimension equal to the dimension of the original system. It is shown that the modified algorithm significantly improves the stability boundary estimates obtained with frequency methods. Unlike the algorithm for constructing piecewise linear Lyapunov functions, the running time of the proposed algorithm for constructing the Lyapunov spline functions does not tend to infinity as the system approaches the stability boundary. This circumstance makes it possible to use a modified algorithm to determine the stability of systems that are close to the stability boundary. An estimate of the accuracy of determining the stability area using an example of a third-order system is shown. Specific recommendations on the algorithm initial conditions choice are given.

дифференциальные включениянелинейные нестационарные системыабсолютная устойчивостьфункции Ляпуноваобласти устойчивостисплайнБезьеполиномы Бернштейнаdifferential inclusionsnonlinear nonstationary systemsabsolute stabilityLyapunov functionsstability areasBezier splinesBernstein polynomialsReferencesБердников В.П. Алгоритм определения полных областей устойчивости нестационарных нелинейных систем // Российский технологический журнал. 2017. Т. 5. № 6. С. 55-72.Berdnikov V.P. Algorithm of determination of non-stationary nonlinear systems full stability areas // Rossiiskiy tekhnologicheskiy zhurnal (Russian Technological Journal). 2017. V. 5. № 6. P. 55–72. (in Russ.).Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-73.Molchanov A.P., Pyatnitskiy E.S. Lyapunov functions that determine necessary and sufficient conditions for absolute stability of nonlinear time-varying control systems I // Avtomatika i telemekhanika (Automation and Remote Control). 1986. № 3. P. 63–73. (in Russ.).Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.Molchanov A.P., Pyatnitskiy E.S. Lyapunov functions that determine necessary and sufficient conditions for absolute stability of nonlinear time-varying control systems II // Avtomatika i telemekhanika (Automation and Remote Control). 1986. № 4. P. 5–15. (in Russ.).Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления III // Автоматика и телемеханика. 1986. № 5. С. 38-49.Molchanov A.P., Pyatnitskiy E.S. Lyapunov functions that determine necessary and sufficient conditions for absolute stability of nonlinear time-varying control systems III // Avtomatika i telemekhanika (Automation and Remote Control). 1986. № 5. P. 38–49. (in Russ.).Chesi G., Garulli A., Tesi A., Vicino A. Homogeneous polynomial forms for robustness analysis of uncertain systems. London: Springer-Verlag, 2009. 198 p.Chesi G., Garulli A., Tesi A., Vicino A. Homogeneous polynomial forms for robustness analysis of uncertain systems. London: Springer-Verlag, 2009. 198 p.Barber C.B., Dobkin D.P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software. 1995. V. 22. Iss. 4. P. 469-483.Barber C. B., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Transactions on Mathematical Software.1995. V. 22. Iss. 4. P. 469–483.Farin G. Triangular Bernstein-Bezier patches // Computer Aided Geometric Design. 1986. V. 3. № 2. P. 83-127.Farin G. Triangular Bernstein-Bezier patches // Computer Aided Geometric Design. 1986. V. 3. № 2. P. 83–127.Prautzsch H., Boehm W., Paluszny M. Bezier and B-Spline techniques. Berlin: Springer-Verlag, 2002. 304 p.Prautzsch H., Boehm W., Paluszny M. Bezier and B-Spline techniques. Berlin: SpringerVerlag, 2002. 304 p.Farin G. Curves and surfaces for CAGD: A practical guide (5th Edition). San Francisco: Morgan Kaufmann, 2001. 520 p.Farin G. Curves and surfaces for CAGD: A practical guide (5th Edition). San Francisco: Morgan Kaufmann, 2001. 520 p.Sun W., Yuan Y. Optimization theory and methods: Nonlinear programming. New York: Springer, 2010. 687 p.Sun W., Yuan Y. Optimization theory and methods: Nonlinear programming. New York: Springer, 2010. 687 p.Bonnans J., Gilbert J.C., Lemarechal C., Sagastizabal C.A. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Berlin: Springer, 2006. 490 p.Bonnans J., Gilbert J.C., Lemarechal C., Sagastizabal C.A. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Berlin: Springer, 2006. 490 p.DeRose T.D. Necessary and sufficient conditions for tangent plane continuity of Bezier surfaces // Computer Aided Geometric Design. 1990. № 7. P. 165-179.DeRose T.D. Necessary and sufficient conditions for tangent plane continuity of Bezier surfaces // Computer Aided Geometric Design. 1990. № 7. P. 165–179.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.