mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2025-13-2-74-92KPQMImireabulletin-1128Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMATHEMATICAL MODELINGМатематическое моделирование процесса горячего изостатического прессования труб из порошковых материаловMathematical modeling of hot isotatic pressing of tubes from powder materialshttps://orcid.org/0000-0002-5413-8625ГоловешкинВ. А.GoloveshkinVasiliy A.

Головешкин Василий Адамович, д.т.н., профессор, кафедра высшей математики, Институт кибербезопасности и цифровых технологий;ведущий научный сотрудник

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78;125040, Москва, Ленинградский пр-т, д. 7, стр. 1

Scopus Author ID 6602872377

Vasiliy A. Goloveshkin, Dr. Sci. (Eng.), Professor, Higher Mathematics Department, Institute of Cybersecurity and Digital Technologies; Leading Researcher

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454; 7-1, Leningradskii pr., Moscow,125040 

Scopus Author ID 6602872377

vag-1953@yandex.ruhttps://orcid.org/0009-0003-2483-4392НиколаенкоА. А.NickolaenkoArtem A.

Николаенко Артем Андреевич, студент

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Artem A. Nickolaenko, Student

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

temanickolaenko2004@yandex.ruСамаровВ. Н.SamarovVictor N.

Самаров Виктор Наумович, д.т.н., технический директор

117556, Москва, Симферопольский б-р, д. 15

Scopus Author ID 6603606878

Victor N. Samarov, Dr. Sci. (Eng.), Technical Director

15, Simferopol’skii bul., Moscow, 117556 

Scopus Author ID 6603606878

Samarov13@Aol.comРейссонЖ.RaissonGerard

Рейссон Жерар, консультант

Scopus Author ID 6603152593

Gerard Raisson, Retired Consultant

Scopus Author ID 6603152593

gerard.raisson@gmail.comhttps://orcid.org/0009-0008-2857-3499ФисуноваД. М.FisunovaDaria M.

Фисунова Дарья Михайловна, студент

119454, Москва, пр-т Вернадского, д. 78

Daria M. Fisunova, Student

78, Vernadskogo pr., Moscow, 119454

daria.fisunova@gmail.comМИРЭА – Российский технологический университет; Институт прикладной механики, Российская академия наукРоссияMIREA – Russian Technological University; Institute of Applied Mechanics, Russian Academy of SciencesRussian FederationМИРЭА – Российский технологический университетРоссияMIREA – Russian Technological UniversityRussian FederationООО «Лаборатория новых технологий»РоссияLaboratory of new technologiesRussian FederationКлермон ФерранФранцияClermond FerrandFrance2025060220251327492Copyright © Головешкин В.А., Николаенко А.А., Самаров В.Н., Рейссон Ж., Фисунова Д.М., 20252025Головешкин В.А., Николаенко А.А., Самаров В.Н., Рейссон Ж., Фисунова Д.М.Goloveshkin V.A., Nickolaenko A.A., Samarov V.N., Raisson G., Fisunova D.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1128Цели

Цели. Цель работы – создание модели, которая позволяет с помощью математического моделирования исследовать процесс горячего изостатического прессования (ГИП) длинных труб из порошковых материалов. Напряженно-деформируемое состояние исследуется вдали от верхней и нижней границ капсулы в цилиндрической системе координат, поэтому осевая скорость деформации в каждый момент процесса предполагается постоянной по объему.

Методы

Методы. Используются методы математического моделирования. Порошковый материал моделируется как пластически сжимаемая сплошная среда. Для описания его механических свойств в процессе деформации используется модель Грина. Для анализа механического поведения материала капсулы применяется модель идеальной пластичности при условии несжимаемости. Температурное поле предполагается постоянным по объему и по времени в течение всего процесса.

Результаты

Результаты. Поскольку, как правило, толщина стенок труб существенно меньше их радиуса, то в процессе исследования принималась гипотеза о постоянстве относительной плотности порошкового материала по объему в каждый момент процесса. Принятая гипотеза позволила свести задачу определения скоростей деформаций на каждом шаге процесса к решению некоторой системы двух уравнений с двумя неизвестными. По известным скоростям деформации определяются скорости перемещений, что позволяет получить конечные размеры трубы (при относительной плотности порошкового материала равной единице). Анализируются усадки всех размеров трубы (вертикального, внутреннего радиуса, наружного радиуса), как функции относительной плотности.

Выводы

Выводы. Предложенная модель описания процесса ГИП длинных труб из порошковых материалов позволяет учитывать все особенности данного процесса в зависимости от параметров системы. Показана возможность использования трубчатых образцов для определения функций, входящих в условие Грина.

Objectives

Objectives. The work set out to create a mathematical model to investigate the process of hot isostatic pressing (HIP) process of long tubes from powder materials in metal capsules. By analyzing the stress-strain state in the areas far from the top and bottom borders in the cylindrical system of coordinates, the axial strain rate at every moment of the process can be considered to be constant through the entire volume.

Methods

Methods. Mathematical modeling methods were used to describe mechanical properties in the process of HIP deformation by Green’s model of porous compressible media. The HIP capsule material, which is considered to be non-compressible, is described by the ideal plasticity model. The temperature field is assumed to be uniform over the volume and constant during the time of deformation.

Results

Results. The hypothesis of the uniform density over the cross section at each moment of the process was considered during analysis to the extent that the wall thickness of the tube is substantially less than its diameter. This hypothesis allowed us to reduce the task of determining the strain rates at every step of the process to a solution comprising two equations having two variables. When the strain rates are determined, the deformation field is built to obtain the final dimensions of the tube when the powder material is fully consolidated at the end of the HIP process.

Conclusions

Conclusions. The proposed model for describing the process hot isostatic pressing of long tubes from powder materials takes all the features of this process into account depending on the system parameters. The possibility of using tubular samples to determine the functions included in the Green’s condition is demonstrated.

математическое моделированиепластически сжимаемая средагорячее изостатическое прессованиепорошковый материалусловие Гринаидеальная пластичностьmathematical modelingplastically compressible mediaHot Isostatic Pressingpowder materialplastically irreversible compressible mediaGreen’s plasticity criterionideal plasticityReferencesАнохина А.В., Головешкин В.А., Самаров В.Н., Селиверстов Д.Г., Raisson G. Математическая модель расчета процесса горячего изостатического прессования деталей сложной формы при наличии периодической структуры закладных элементов. Механика композиционных материалов и конструкций. 2002;8(2):245–254. https://elibrary.ru/jwpwndAnokhina A.V., Goloveshkin V.A., Samarov V.N., Seliverstov D.G., Raisson G. A Mathematical model for calculating the process of hot isostatic pressing of parts of complex-shaped parts in the presence of a periodic structure of embedded elements. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii = Mechanics of Composite Materials and Structures. 2002;8(2):245–254 (in Russ.). https://elibrary.ru/jwpwndИльюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. СПб.: Ленанд; 2020. 272 с. ISBN 978-5-9710-7092-4Ilyushin A.A. Plastichnost’. Osnovy obshchei matematicheskoi teorii (Plasticity. Fundamentals of General Mathematical Theory). St. Petersburg: Lenand; 2020. 272 p. (in Russ.). ISBN 978-5-9710-7092-4Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ; 1990. 312 с. ISBN 5-211-00940-1Ilyushin A.A. Mekhanika sploshnoi sredy (Continuum Mechanics). Moscow: MSU; 1990. 310 p. (in Russ.). ISBN 5-211-00940-1Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies. Geotechnique. 1979;29(1):47–65. https://doi.org/10.1680/geot.1979.29.1.47Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies. Geotechnique. 1979;29(1):47–65. https://doi.org/10.1680/geot.1979.29.1.47Гордон В.А., Шоркин В.С. Нелокальная теория приповерхностного слоя твердого тела. В сб.: Итоги развития механики в Туле. Международная конференция: Тезисы докладов. Тула: ТулГУ; 1998. С. 24.Gordon V.A., Shorkin V.S. The nonlocal theory of the near-surface layer of a solid. In: Results of the Development of Mechanics in Tula. International Conference: Abstracts of the Reports. Tula; 1998. P. 24 (in Russ.).Гордон В.А., Шоркин В.С. Нелокальная теория приповерхностного слоя твердого тела. Известия ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. 1998;4(2):55–57.Gordon V.A., Shorkin V.S. The nonlocal theory of the near-surface layer of a solid. Izvestiya Tul’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika = Bulletin of Tula State University. Series: Mathematics. Mechanics. Computer Science. 1998;4(2):55–57 (in Russ.).Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М.: Наука; 1970. 138 с.Lomakin V.A. Statisticheskie zadachi mekhaniki tverdykh deformiruemykh tel (Statistical Problems of Mechanics of Solid Deformable Bodies). Moscow: Nauka; 1970. 138 p. (in Russ.).Бальшин М.Ю., Кипарисов С.С. Основы порошковой металлургии. М.: Металлургия; 1978. 184 с.Bаlshin M.Yu., Kiparisov S.S. Osnovy poroshkovoi metallurgii (Fundamentals of Powder Metallurgy). Moscow: Metallurgiya; 1978. 184 p. (in Russ.).Бальшин М.Ю. Научные основы порошковой металлургии и металлургии волокна. М.: Металлургия; 1972. 336 с.Bаlshin M.Yu. Nauchnye osnovy poroshkovoi metallurgii i metallurgii volokna (Scientific Foundations of Powder Metallurgy and Fiber Metallurgy). Moscow: Metallurgiya; 1972. 336 p. (in Russ.).Федорченко И.М., Андриевский Р.А. Основы порошковой металлургии. Киев: Изд-во АН УССР; 1963. 420 с.Fedorchenko I.M., Andrievskii R.A. Osnovy poroshkovoi metallurgii (Fundamentals of Powder Metallurgy). Kiev: Publishing House of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR; 1963. 420 p. (in Russ.).Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упруго-пластические деформации. М.; Л.: Гостехиздат; 1948. 376 с.Ilyushin A.A. Plastichnost’. Ch. 1. Uprugo-plasticheskie deformatsii (Plasticity. Part 1. Elastic-plastic deformations). Moscow; Leningrad: Gostekhizdat; 1948. 376 p. (in Russ.).Качанов Л.М. Основы теории пластичности. M.: Наука; 1969. 420 с.Kachanov L.M. Osnovy teorii plastichnosti (Fundamentals of the Theory of Plasticity). Moscow: Nauka; 1969. 420 p. (in Russ.).Соколовский В.В. Теория пластичности. M.: Высшая Школа; 1969. 608 с.Sokolovskii V.V. Teoriya plastichnosti (Theory of Plasticity). Moscow: Vysshaya Shkola; 1969. 608 p. (in Russ.).Хилл Р. Математическая теория пластичности: пер. с англ. М.: Гостехиздат; 1956. 408 с.Hill R. Matematicheskaya teoriya plastichnosti (Mathematical Theory of Plasticity): transl. from Engl. Moscow: Gostekhizdat; 1956. 408 p. (in Russ.). [Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford: Clarendon Press; 1950. 356 p.]Фрост Г., Эшби М.Ф. Карты механизмов деформаций: пер. с англ. Челябинск: Металлургия; 1989. 327 с.Frost H.J., Ashby M.F. Karty mekhanizmov deformatsiy (Deformation Mechanism Maps): transl. from Engl. Chelyabinsk: Metallurgiya; 1989. 327 p. (in Russ.). [Frost H.J., Ashby M.F. Deformation Mechanism Maps. Oxford: Pergamon Press; 1982.]Arzt E., Ashby M.F., Easterling K.E. Practical application of Hot-Isostatic Pressing diagrams: four case studies. Metall. Trans. 1983;14A(1):211–221. https://doi.org/10.1007/BF02651618Arzt E., Ashby M.F., Easterling K.E. Practical application of Hot-Isostatic Pressing diagrams: four case studies. Metall. Trans. 1983;14A(1):211–221. https://doi.org/10.1007/BF02651618Ashby M.F. A first report of sintering diagrams. Acta Metall. 1974;22(3):275–289. https://doi.org/10.1016/0001-6160(74)90167-9Ashby M.F. A first report of sintering diagrams. Acta Metall. 1974;22(3):275–289. https://doi.org/10.1016/0001-6160(74)90167-9Helle A.S., Easterling K.E., Ashby M.F. Hot Isostatic Pressing diagrams: New development. Acta Metall. 1985;33(12): 2163–2174. https://doi.org/10.1016/0001-6160(85)90177-4Helle A.S., Easterling K.E., Ashby M.F. Hot Isostatic Pressing diagrams: New development. Acta Metall. 1985;33(12): 2163–2174. https://doi.org/10.1016/0001-6160(85)90177-4Друянов Б.А. Прикладная теория пластичности пористых тел. М.: Машиностроение; 1989. 168 с.Druyanov B.A. Prikladnaya teoriya plastichnosti poristykh tel (Applied Theory of Plasticity of Porous Bodies). Moscow: Mashinostroenie; 1989. 168 p. (in Russ.).Green R.J. A plasticity theory for porous solids. Int. J. Mech. Sci. 1972;14(4):215–224. https://doi.org/10.1016/0020-7403(72)90063-XGreen R.J. A plasticity theory for porous solids. Int. J. Mech. Sci. 1972;14(4):215–224. https://doi.org/10.1016/0020-7403(72)90063-XШтерн М.Б., Сердюк Г.Г., Максименко Л.А., Трухан Ю.В., Шуляков Ю.М. Феноменологические теории прессования порошков. Киев: Наукова думка; 1982. 140 c.Shtern M.B., Serdyuk G.G., Maksimenko L.A., et al. Fenomenologicheskie teorii pressovaniya poroshkov (Phenomenological Theories of Powder Pressing). Kiev: Naukova dumka; 1982. 140 p. (in Russ.).Скороход В.В. Реологические основы теории спекания. Киев: Наукова думка; 1972. 152 с.Skorokhod V.V. Reologicheskie osnovy teorii spekaniya (Rheological Foundations of Sintering Theory). Kiev: Naukovadumka; 1972. 152 p. (in Russ.).Goloveshkin V.A., Kazberovich A.M., Samarov V.N., Seliverstov D.G. New Regularities of the Shape-Changing of Hollow Parts During HIP. In: Koizumi M. (Ed.). Hot Isostatic Pressing Theory and Applications. Springer; 1992. P. 281–287. https://doi.org/10.1007/978-94-011-2900-8_43Goloveshkin V.A., Kazberovich A.M., Samarov V.N., Seliverstov D.G. New Regularities of the Shape-Changing of Hollow Parts During HIP. In: Koizumi M. (Ed.). Hot Isostatic Pressing Theory and Applications. Springer; 1992. P. 281–287. https://doi.org/10.1007/978-94-011-2900-8_43Анохина А.В., Головешкин В.А., Пирумов А.Р., Флакс М.Я. Исследование начального процесса прессования труб из порошковых материалов с учетом вертикальной усадки. Механика композиционных материалов и конструкций. 2003;9(2):123–132.Anokhina A.V., Goloveshkin V.A., Pirumov A.R., Flaks M.Ya. Investigation of the initial process of pressing pipes made of powder materials, taking into account vertical shrinkage. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii = Mechanics of Composite Materials and Structures. 2003;9(2):123–132 (in Russ.).Dutton R.E., Shamasundar S., Semiatin S.L. Modeling the Hot Consolidation of Ceramic and Metal Powders. Metall. Mater. Trans. A. 1995;26A:2041–2051. https://doi.org/10.1007/BF02670676Dutton R.E., Shamasundar S., Semiatin S.L. Modeling the Hot Consolidation of Ceramic and Metal Powders. Metall. Mater. Trans. A. 1995;26A:2041–2051. https://doi.org/10.1007/BF02670676Власов А.В., Селиверстов Д.Г. Определение функций пластичности порошковых материалов, применяемых при ГИП. В сб.: Исследование в области теории, технологии и оборудования штамповочного производства: Сб. научных трудов. Тула; 1998. С. 46–49.Vlasov A.V., Seliverstov D.G. Determination of the plasticity functions of powder materials used in HIP. In: Research in the Field of Theory, Technology and Equipment for Stamping Production: Collection of Scientific Papers. Tula; 1998. P. 46–49 (in Russ.).Raisson G., Goloveshkin V., Samarov V. Identification of Porous Materials Rheological Coefficient Using Experimental Determination of the Radial and Longitudinal Strain Rate Ratio. In: Hot Isostatic Pressing – HIP’22. Materials Research Proceedings. 2023. V. 38. Р. 150–159. https://doi.org/10.21741/9781644902837-21Raisson G., Goloveshkin V., Samarov V. Identification of Porous Materials Rheological Coefficient Using Experimental Determination of the Radial and Longitudinal Strain Rate Ratio. In: Hot Isostatic Pressing – HIP’22. Materials Research Proceedings. 2023. V. 38. Р. 150–159. https://doi.org/10.21741/9781644902837-21Raisson G., Goloveshkin V., Khomyakov E., Samarov V. Effect of Experimental Determination Process on Shear Stress Coefficient of Green Equation Describing HIP. In: Hot Isostatic Pressing – HIP’22. Materials Research Proceedings. 2023. V. 38. Р. 172–176. https://doi.org/10.21741/9781644902837-24Raisson G., Goloveshkin V., Khomyakov E., Samarov V. Effect of Experimental Determination Process on Shear Stress Coefficient of Green Equation Describing HIP. In: Hot Isostatic Pressing – HIP’22. Materials Research Proceedings. 2023. V. 38. Р. 172–176. https://doi.org/10.21741/9781644902837-24Bochkov A., Kozyrev Yu., Ponomarev A., Raisson G. Theoretical Evaluation of Capsule Material Strain Hardening on the Deformation of Long Cylindrical Blanks During HIP Process. In: Hot Isostatic Pressing – HIP’22. Materials Research Proceedings. 2023. V. 38. Р. 177–183. https://doi.org/10.21741/9781644902837-25Bochkov A., Kozyrev Yu., Ponomarev A., Raisson G. Theoretical Evaluation of Capsule Material Strain Hardening on the Deformation of Long Cylindrical Blanks During HIP Process. In: Hot Isostatic Pressing – HIP’22. Materials Research Proceedings. 2023. V. 38. Р. 177–183. https://doi.org/10.21741/9781644902837-25

The authors declare that there are no conflicts of interest present.