mireabulletinRussian Technological JournalRussian Technological Journal2782-32102500-316XRTU MIREA10.32362/2500-316X-2025-13-2-46-56TNQTWKmireabulletin-1126Research ArticleМИКРО- И НАНОЭЛЕКТРОНИКА. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯMICRO- AND NANOELECTRONICS. CONDENSED MATTER PHYSICSРаспределение напряженности температурного поля на поверхности включений графена в матричном композитеDistribution of temperature field strength on the surface of graphene inclusions in a matrix compositehttps://orcid.org/0000-0002-1467-5100ЛавровИ. В.LavrovIgor V.

Лавров Игорь Викторович, к.ф.-м.н., доцент, старший научный сотрудник

119334, Москва, Ленинский пр-т, д. 32А

Scopus Author ID 35318030100; 

ResearcherID D-1011-2017

Igor V. Lavrov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assistant Professor, Senior Researcher

32A, Leninskii pr., Moscow, 119334

Scopus Author ID 35318030100;

ResearcherID D-1011-2017

iglavr@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-8805-5764БардушкинВ. В.BardushkinVladimir V.

Бардушкин Владимир Валентинович, д.ф.-м.н., доцент, главный научный сотрудник

119334, Москва, Ленинский пр-т, д. 32А

Scopus Author ID 55620242900;

ResearcherID D-1010-2017

Vladimir V. Bardushkin, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Assistant Professor, Chief Researcher

32A, Leninskii pr., Moscow, 119334

Scopus Author ID 55620242900;

ResearcherID D-1010-2017

bardushkin@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-8515-3951ЯковлевВ. Б.YakovlevVictor B.

Яковлев Виктор Борисович, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник и ученый секретарь

119334, Москва, Ленинский пр-т, д. 32А

Scopus Author ID 7201907574;

ResearcherID E-7995-2017

Victor B. Yakovlev, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Chief Researcher, Scientific Secretary

32A, Leninskii pr., Moscow, 119334

Scopus Author ID 7201907574;

ResearcherID E-7995-2017

yakvb@mail.ruИнститут нанотехнологий микроэлектроники, Российская академия наукРоссияInstitute of Nanotechnology of Microelectronics, Russian Academy of SciencesRussian Federation2025280120251324656Copyright © Лавров И.В., Бардушкин В.В., Яковлев В.Б., 20252025Лавров И.В., Бардушкин В.В., Яковлев В.Б.Lavrov I.V., Bardushkin V.V., Yakovlev V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.rtj-mirea.ru/jour/article/view/1126Цели

Цели. Цель работы – получить аналитическое выражение для распределения напряженности температурного поля на поверхностях анизотропных включений в форме тонких дисков в матричном композите и применить полученные выражения для прогнозирования величины напряженности температурного поля на поверхности графеновых включений со стороны матрицы.

Методы

Методы. Включение в форме тонкого кругового диска является частным предельным случаем эллипсоидального включения. Для получения требуемых аналитических выражений используется ранее полученное авторами более общее выражение для оператора концентрации напряженности электрического поля на поверхности эллипсоидального включения, поскольку задачи нахождения электростатического и температурного поля в стационарном случае математически эквивалентны. Данный оператор связывает напряженность поля на поверхности включения со стороны матрицы со средней напряженностью поля в образце композита, выражение для него получено в обобщенном сингулярном приближении.

Результаты

Результаты. Получены аналитические выражения для оператора концентрации напряженности температурного поля на поверхности включения в форме тонкого диска из многослойного графена в матричном композите с учетом анизотропии включения в зависимости от положения точки на поверхности включения, от объемной доли включений в материале, от ориентации включения. Рассмотрены два вида распределения ориентаций включений: одинаково ориентированные включения и равномерное распределение ориентаций включений. Проведены модельные расчеты величины напряженности температурного поля в точках ребра включения-диска в зависимости от угла между радиус-вектором данной точки и направлением напряженности приложенного поля.

Выводы

Выводы. Показано, что в случае графеновых многослойных включений в точках на их ребрах величина напряженности поля может на несколько порядков превышать напряженность приложенного поля.

Objectives

Objectives. The study sets out to obtain an analytical expression for the distribution of the temperature field strength on the surfaces of anisotropic graphene inclusions taking the form of thin disks in the matrix composite and to use the obtained expressions to predict the strength of the temperature field on the surface of inclusions from the matrix side.

Methods

Methods. An inclusion taking the form of a thin circular disk represents a special limit case of an ellipsoidal inclusion. To obtain the corresponding analytical expressions, the authors use their previously derived more general expression for the operator of the concentration of the electric field strength on the surface of ellipsoidal inclusion. The approach is justified by the mathematical equivalence of problems of finding the electrostatic and temperature field in the stationary case. The operator relates the field strength on the inclusion surface from the matrix side to the average field strength in the composite sample; the corresponding expression is obtained in a generalized singular approximation.

Results

Results. Analytical expressions were obtained for the operator of the concentration of the temperature field strength on the surface of the inclusion taking the form of a thin disk of multilayer graphene in a matrix composite. The expressions take into account inclusion anisotropy, the position of the point on the inclusion surface, the volume fraction of inclusions in the material, and the inclusion orientation. Two types of inclusion orientation distributions were considered: equally oriented inclusions and uniform distribution of inclusion orientations. Model calculations of the value for the temperature field strength at the points of the inclusion disk edge as a function of the angle between the radius vector of this point and the direction of the applied field strength were carried out. Conclusions. In the case of graphene multilayer inclusions, it is shown that the field strength at points on their edges can exceed the applied field strength by several orders of magnitude.

композитматрицаграфенвключениеоператоры концентрации напряженности температурного поляобобщенное сингулярное приближениеcompositematrixgrapheneinclusionoperators of temperature field strength concentrationgeneralized singular approximationReferencesNovoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S.V., Grigorieva I.V., Firsov A.A. Electric field effect in atomically thin carbon films. Science. 2004;306(5696):666–669. https://doi.org/10.1126/science.1102896Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S.V., Grigorieva I.V., Firsov A.A. Electric field effect in atomically thin carbon films. Science. 2004;306(5696):666–669. https://doi.org/10.1126/science.1102896Новоселов К.С. Графен: материалы Флатландии. Успехи физических наук (УФН). 2011;81(12):1299–1311. https://doi.org/10.3367/UFNr.0181.201112f.1299Novoselov K.S. Graphene: Materials in the Flatland. Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 2011;181(12):1299–1311 (in Russ.). https://doi.org/10.3367/UFNr.0181.201112f.1299Bunch J.S., Van der Zande A.M., Verbridge S.S., Frank I.W., Tanenbaum D.M., Parpia J.M., Craighead H.G., McEuen P.L. Electromechanical resonators from graphene sheets. Science. 2007;315(5811):490–493. https://doi.org/10.1126/science.1136836Bunch J.S., Van der Zande A.M., Verbridge S.S., Frank I.W., Tanenbaum D.M., Parpia J.M., Craighead H.G., McEuen P.L. Electromechanical resonators from graphene sheets. Science. 2007;315(5811):490–493. https://doi.org/10.1126/science.1136836Yan Zh., Nika D.L., Balandin A.A. Thermal properties of graphene and few-layer graphene: applications in electronics. IET Circuits, Devices & Systems. 2015;9(1):4–12. https://doi.org/10.1049/iet-cds.2014.0093Yan Zh., Nika D.L., Balandin A.A. Thermal properties of graphene and few-layer graphene: applications in electronics. IET Circuits, Devices & Systems. 2015;9(1):4–12. https://doi.org/10.1049/iet-cds.2014.0093Ткачев С.В., Буслаева Е.Ю., Губин С.П. Графен – новый углеродный наноматериал. Неорганические материалы. 2011;47(1):5–14.Tkachev S.V., Buslaeva E.Y., Gubin S.P. Graphene: a novel carbon nanomaterial. Neorg. Mater. 2011;47(1):1–10. https://doi.org/10.1134/S0020168511010134 [Original Russian Text: Tkachev S.V., Buslaeva E.Y., Gubin S.P. Graphene: a novel carbon nanomaterial. Neorganicheskie materialy. 2011;47(1):5–14 (in Russ.).]Елецкий А.В., Искандарова И.М., Книжник А.А., Красиков Д.Н. Графен: методы получения и теплофизические свойства. Успехи физических наук (УФН). 2011;181(3):233–268.EletskiiA.V., Iskandarova I.M., KnizhnikA.A., Krasikov D.N. Graphene: fabrication methods and thermophysical properties. Phys.-Usp. 2011;54(3):227–258. https://doi.org/10.3367/UFNe.0181.201103a.0233 [Original Russian Text: Eletskii A.V., Iskandarova I.M., Knizhnik A.A., Krasikov D.N. Graphene: fabrication methods and thermophysical properties. Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 2011;181(3):233–268 (in Russ.).]Колесников В.И. Теплофизические процессы в металлополимерных трибосистемах. М.: Наука; 2003. 279 с. ISBN 5-02-002843-6Kolesnikov V.I. Teplofizicheskie protsessy v metallopolimernykh tribosistemakh (Thermophysical Processes in MetalPolymeric Tribosystems). Moscow: Nauka, 2003. 279 p. (in Russ.). ISBN 5-02-002843-6Колесников В.И., Козаков А.Т., Сидашов А.В., Кравченко В.Н., Сычев А.П. Диффузионные и сегрегационные процессы в металлополимерной трибосистеме. Трение и износ. 2006;27(4):361–365.Kolesnikov V.I., Kozakov A.T., Sidashov A.V., Kravchenko V.N., Sychev A.P. Diffusion and segregation processes in metalpolymer tribosystem. Trenie i iznos = Friction and Wear. 2006;27(4):361–365 (in Russ.).Лавров И.В., Бардушкин В.В., Яковлев В.Б. Прогнозирование эффективной теплопроводности композитов с графеновыми включениями. Тепловые процессы в технике. 2023;15(7):299–308.Lavrov I.V., Bardushkin V.V., Yakovlev V.B. Prediction of the effective thermal conductivity of composites with graphene inclusions. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes in Engineering. 2023;15(7):299–308 (in Russ.).Zarubin V.S., Zimin V.N., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Y., Novozhilova O.V. Two-sided estimate of effective thermal conductivity coefficients of a textured composite with anisotropic ellipsoidal inclusions. Z. Angew. Math. Phys. (ZAMP). 2023;74(4):139. https://doi.org/10.1007/s00033-023-02039-0Zarubin V.S., Zimin V.N., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Y., Novozhilova O.V. Two-sided estimate of effective thermal conductivity coefficients of a textured composite with anisotropic ellipsoidal inclusions. Z. Angew. Math. Phys. (ZAMP). 2023;74(4):139. https://doi.org/10.1007/s00033-023-02039-0Bonfoh N., Dinzart F., Sabar H. New exact multi-coated ellipsoidal inclusion model for anisotropic thermal conductivity of composite materials. Appl. Math. Modell. 2020;87(12):584–605. https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.06.005Bonfoh N., Dinzart F., Sabar H. New exact multi-coated ellipsoidal inclusion model for anisotropic thermal conductivity of composite materials. Appl. Math. Modell. 2020;87(12):584–605. https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.06.005Шалыгина Т.А., Мележик А.В., Ткачев А.Г., Воронина С.Ю., Ворончихин В.Д., Власов А.Ю. Синергический эффект гибридного наполнителя на основе графеновых нанопластин и многостенных нанотрубок для повышения теплопроводности эпоксидного композита. Письма в ЖТФ. 2021;47(7):3–6. https://doi.org/10.21883/PJTF.2021.07.50789.18609Shalygina T.A., Melezhik A.V., Tkachev A.G., et al. The Synergistic Effect of a Hybrid Filler Based on Graphene Nanoplates and Multiwalled Nanotubes for Increasing the Thermal Conductivity of an Epoxy Composite. Tech. Phys. Lett. 2021;47(7):364–367. https://doi.org/10.1134/S1063785021040143 [Original Russian Text: Shalygina T.A., Melezhik A.V., Tkachev A.G., Voronina S.Yu., Voronchikhin V.D., Vlasov A.Yu. The Synergistic Effect of a Hybrid Filler Based on Graphene Nanoplates and Multiwalled Nanotubes for Increasing the Thermal Conductivity of an Epoxy Composite. Pis’ma v Zhurnal tekhnicheskoi fiziki. 2021;47(7):3–5 (in Russ.). https://doi.org/10.21883/PJTF.2021.07.50789.18609 ]Колесников В.И., Лавров И.В., Бардушкин В.В., Сычев А.П., Яковлев В.Б. Метод оценки распределений локальных температурных полей в многокомпонентных композитах. Наука Юга России. 2017;13(2):13–20. https://doi.org/10.23885/2500-0640-2017-13-2-13-20Kolesnikov V.I., Lavrov I.V., Bardushkin V.V., Sychev A.P., Yakovlev V.B. A method of the estimation of the local thermal fields’ distribution in multicomponent composites. Nauka Yuga Rossii = Science in the South Russia. 2017;13(2):13–20 (in Russ.). https://doi.org/10.23885/2500-0640-2017-13-2-13-20Колесников В.И., Яковлев В.Б., Лавров И.В., Сычев А.П., Бардушкин А.В. Распределение электрических полей на поверхности включений в матричном композите. Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2023;513(1):34–40. https://doi.org/10.31857/S2686740023060093, https://elibrary.ru/htskmeKolesnikov V.I., Yakovlev V.B., Lavrov I.V., et al. Distribution of Electric Fields on the Surface of Inclusions in a Matrix Composite. Dokl. Phys. 2023;68(11):370–375. https://doi.org/10.1134/S1028335823110058 [Original Russian Text: Kolesnikov V.I., Yakovlev V.B., Lavrov I.V., Sychev A.P., Bardushkin A.V. Distribution of Electric Fields on the Surface of Inclusions in a Matrix Composite. Doklady Rossiiskoi akademii nauk. Fizika, tekhnicheskie nauki. 2023;513(1):34–40 (in Russ.). https://doi.org/10.31857/S2686740023060093 ]Milton G. The Theory of Composites. Cambridge: Cambridge University Press; 2004. 719 p.Milton G. The Theory of Composites. Cambridge: Cambridge University Press; 2004. 719 p.Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа; 1967. 600 с.Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti (Theory of Thermal Conductivity). Moscow: Vysshaya shkola; 1967. 600 p. (in Russ.).Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений. М.: ЛЕНАНД; 2018. 1072 с. ISBN 978-5-9710-4994-4Kartashov E.M., Kudinov V.A. Analiticheskie metody teorii teploprovodnosti i ee prilozhenii (Analytical Methods of the Theory of Thermal Conductance and its Applications). Moscow: Lenand; 2018. 1072 p. (in Russ.). ISBN 978-5-9710-4994-4Карташов Э.М. Новый энергетический эффект в областях нецилиндрического типа с термоизолированной движущейся границей. Russian Technological Journal. 2023;11(5):106–117. https://doi.org/10.32362/2500-316X-2023-11-5-106-117Kartashov E.M. New energy effect in non-cylindrical domains with a thermally insulated moving boundary. Russian Technological Journal. 2023;11(5):106–117 (in Russ.). https://doi.org/10.32362/2500-316X-2023-11-5-106-117Benveniste Y., Miloh T. The effective conductivity of composites with imperfect thermal contact at constituent interfaces. Int. J. Eng. Sci. 1986;24(9):1537–1552. https://doi.org/10.1016/0020-7225(86)90162-XBenveniste Y., Miloh T. The effective conductivity of composites with imperfect thermal contact at constituent interfaces. Int. J. Eng. Sci. 1986;24(9):1537–1552. https://doi.org/10.1016/0020-7225(86)90162-XBenveniste Y. On the effective thermal conductivity of multiphase composites. Z. Angew. Math. Phys. (ZAMP). 1986;37: 696–713. https://doi.org/10.1007/BF00947917Benveniste Y. On the effective thermal conductivity of multiphase composites. Z. Angew. Math. Phys. (ZAMP). 1986;37: 696–713. https://doi.org/10.1007/BF00947917Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material. Phys. Rev. B. 1975;12(8):3368–3373. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3368Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material. Phys. Rev. B. 1975;12(8):3368–3373. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3368Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука; 1977. 399 с.Shermergor T.D. Teoriya uprugosti mikroneodnorodnykh sred (Micromechanics of Inhomogeneous Medium). Moscow: Nauka; 1977. 399 p. (in Russ.).Колесников В.И., Яковлев В.Б., Бардушкин В.В., Лавров И.В., Сычев А.П., Яковлева Е.Н. О методе анализа распределений локальных электрических полей в композиционном материале. Доклады академии наук (ДАН). 2016;467(3):275–279. https://doi.org/10.7868/S0869565216090097Kolesnikov V.I., Yakovlev V.B., Bardushkin V.V., Lavrov I.V., Sychev A.P., Yakovleva E.N. A Method of Analysis of Distributions of Local Electric Fields in Composites. Dokl. Phys. 2016;61(3):124–128. https://doi.org/10.1134/S1028335816030101 [Original Russian Text: Kolesnikov V.I., Yakovlev V.B., Bardushkin V.V., Lavrov I.V., Sychev A.P., Yakovleva E.N. A Method of Analysis of Distributions of Local Electric Fields in Composites. Doklady akademii nauk. 2016;467(3): 275–279 (in Russ.). https://doi.org/10.7868/S0869565216090097 ]Лавров И.В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009;1:52–58.Lavrov I.V. Permittivity of composite material with texture: ellipsoidal anisotropic inclusions. Ekologicheskii vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2009;1:52–58 (in Russ.).Григорьев И.С., Мейлихов Е.З. Физические величины: справочник. М.: Энергоатомиздат; 1991. 1232 с.Grigor’ev I.S., Meilikhov E.Z. Fizicheskie velichiny: spravochnik (Physical Quantities: A Handbook). Moscow: Energoatomizdat; 1991. 1232 p. (in Russ.).Ли Х., Невилл К. Справочное руководство по эпоксидным смолам: пер. с англ. М.: Энергия; 1973. 415 с.Lee H., Neville K. Spravochnoe rukovodstvo po epoksidnym smolam (Handbook of Epoxy Resins): transl. from Engl. Moscow: Energiya; 1973. 415 p. (in Russ.). [Lee H., Neville K. Handbook of Epoxy Resins. N.-Y.: McGraw-Hill; 1967. 922 p.]Шейнерман А.Г., Красницкий С.А. Моделирование влияния агломерации графена на механические свойства керамических композитов с графеном. Письма в ЖТФ. 2021;47(17):37–40. https://doi.org/10.21883/PJTF.2021.17.51385.18844Sheinerman A.G., Krasnitskii S.A. Modeling of the Influence of Graphene Agglomeration on the Mechanical Properties of Ceramic Composites with Graphene. Tech. Phys. Lett. 2021;47(12):873–876. https://doi.org/10.1134/S106378502109011X [Original Russian Text: Sheinerman A.G., Krasnitskii S.A. Modeling of the Influence of Graphene Agglomeration on the Mechanical Properties of Ceramic Composites with Graphene. Pis’ma v Zhurnal tekhnicheskoi fiziki. 2021;47(17):37–40 (in Russ.). https://doi.org/10.21883/PJTF.2021.17.51385.18844 ]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.